ГДЗ: Упражнение 284 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Основание \( 3 \) удовлетворяет условиям \( 3 > 0 \) и \( 3 \neq 1 \).
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( 1 - x^3 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( -x^3 > -1 \)
\( x^3 < 1 \).
Так как функция \( y = x^3 \) строго возрастает, то \( x^3 < 1^3 \) эквивалентно \( x < 1 \).
Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (-\infty; 1) \).

Основание \( 2 \) удовлетворяет условиям \( 2 > 0 \) и \( 2 \neq 1 \).
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( x^3 + 8 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( x^3 > -8 \).
Так как \( -8 = (-2)^3 \), то \( x^3 > (-2)^3 \).
Поскольку функция \( y = x^3 \) строго возрастает, то \( x^3 > (-2)^3 \) эквивалентно \( x > -2 \).
Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (-2; +\infty) \).

Основание \( 4 \) удовлетворяет условиям \( 4 > 0 \) и \( 4 \neq 1 \).
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( x^3 + x^2 - 2x > 0 \).
Шаг 1: Разложим многочлен на множители, вынося \( x \):
\( x(x^2 + x - 2) > 0 \).
Шаг 2: Разложим квадратный трехчлен \( x^2 + x - 2 \). Корни уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \) - это \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \).
Поэтому \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
Неравенство принимает вид:
\( x(x - 1)(x + 2) > 0 \).
Шаг 3: Используем метод интервалов. Корни (нули) выражения: \( -2, 0, 1 \).
Разобьем числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 0) \), \( (0; 1) \), \( (1; +\infty) \).
Проверим знак выражения \( f(x) = x(x - 1)(x + 2) \) на каждом интервале:

• На \( (1; +\infty) \), например \( x=2 \): \( 2(1)(4) > 0 \). Знак: +
• На \( (0; 1) \), например \( x=0.5 \): \( 0.5(-0.5)(2.5) < 0 \). Знак: -
• На \( (-2; 0) \), например \( x=-1 \): \( -1(-2)(1) > 0 \). Знак: +
• На \( (-\infty; -2) \), например \( x=-3 \): \( -3(-4)(-1) < 0 \). Знак: -