ГДЗ: Упражнение 277 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма: \( x = a^b \).
В нашем случае \( a = 6 \) и \( b = 3 \).
Шаг 1: Применим определение логарифма.
\( x = 6^3 \).
Шаг 2: Вычислим степень.
\( 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \).
Шаг 3: Проверим условие существования логарифма: \( x > 0 \).
\( 216 > 0 \), условие выполняется.

Применим определение логарифма: \( x = a^b \).
В нашем случае \( a = 5 \) и \( b = 4 \).
Шаг 1: Применим определение логарифма.
\( x = 5^4 \).
Шаг 2: Вычислим степень.
\( 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 \).
Шаг 3: Проверим условие существования логарифма: \( x > 0 \).
\( 625 > 0 \), условие выполняется.

Применим определение логарифма: \( 5 - x = 2^3 \).
Шаг 1: Упростим правую часть.
\( 5 - x = 8 \).
Шаг 2: Решим линейное уравнение относительно \( x \).
\( -x = 8 - 5 \)
\( -x = 3 \)
\( x = -3 \).
Шаг 3: Проверим условие существования логарифма: аргумент \( 5 - x > 0 \).
Подставим \( x = -3 \): \( 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \). Так как \( 8 > 0 \), условие выполняется.

Применим определение логарифма: \( x + 2 = 3^3 \).
Шаг 1: Упростим правую часть.
\( x + 2 = 27 \).
Шаг 2: Решим линейное уравнение относительно \( x \).
\( x = 27 - 2 \)
\( x = 25 \).
Шаг 3: Проверим условие существования логарифма: аргумент \( x + 2 > 0 \).
Подставим \( x = 25 \): \( 25 + 2 = 27 \). Так как \( 27 > 0 \), условие выполняется.

Применим определение логарифма: \( 0,5 + x = (\frac{1}{6})^{-1} \).
Шаг 1: Упростим правую часть.
\( (\frac{1}{6})^{-1} = 6 \).
\( 0,5 + x = 6 \).
Шаг 2: Решим линейное уравнение относительно \( x \).
\( x = 6 - 0,5 \)
\( x = 5,5 \).
Шаг 3: Проверим условие существования логарифма: аргумент \( 0,5 + x > 0 \).
Подставим \( x = 5,5 \): \( 0,5 + 5,5 = 6 \). Так как \( 6 > 0 \), условие выполняется.