ГДЗ: Упражнение 481 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для вычисления \( \cos 135^{\circ} \) с помощью формул сложения представим угол \( 135^{\circ} \) как сумму или разность известных углов, например, \( 90^{\circ} + 45^{\circ} \) или \( 180^{\circ} - 45^{\circ} \) . Используем формулу косинуса суммы:

• Шаг 1: Представим угол как сумму: \( 135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ} \) .
• Шаг 2: Применим формулу \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \) :
  \( \cos 135^{\circ} = \cos(90^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 90^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 90^{\circ} \sin 45^{\circ} \)
• Шаг 3: Подставим известные значения: \( \cos 90^{\circ} = 0 \), \( \sin 90^{\circ} = 1 \), \( \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) .
  \( \cos 135^{\circ} = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Для вычисления \( \cos 120^{\circ} \) представим угол \( 120^{\circ} \) как разность или сумму известных углов, например, \( 180^{\circ} - 60^{\circ} \) или \( 90^{\circ} + 30^{\circ} \) . Используем формулу косинуса разности:

• Шаг 1: Представим угол как разность: \( 120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} \) .
• Шаг 2: Применим формулу \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \) :
  \( \cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 180^{\circ} \cos 60^{\circ} + \sin 180^{\circ} \sin 60^{\circ} \)
• Шаг 3: Подставим известные значения: \( \cos 180^{\circ} = -1 \), \( \sin 180^{\circ} = 0 \), \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) .
  \( \cos 120^{\circ} = (-1) \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Для вычисления \( \sin 150^{\circ} \) представим угол \( 150^{\circ} \) как разность или сумму известных углов, например, \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \) или \( 90^{\circ} + 60^{\circ} \) . Используем формулу синуса разности:

• Шаг 1: Представим угол как разность: \( 150^{\circ} = 180^{\circ} - 30^{\circ} \) .
• Шаг 2: Применим формулу \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \) :
  \( \sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 180^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 180^{\circ} \sin 30^{\circ} \)
• Шаг 3: Подставим известные значения: \( \sin 180^{\circ} = 0 \), \( \cos 180^{\circ} = -1 \), \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \) .
  \( \sin 150^{\circ} = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Для вычисления \( \cos 240^{\circ} \) представим угол \( 240^{\circ} \) как сумму известных углов, например, \( 180^{\circ} + 60^{\circ} \) . Используем формулу косинуса суммы:

• Шаг 1: Представим угол как сумму: \( 240^{\circ} = 180^{\circ} + 60^{\circ} \) .
• Шаг 2: Применим формулу \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \) :
  \( \cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = \cos 180^{\circ} \cos 60^{\circ} - \sin 180^{\circ} \sin 60^{\circ} \)
• Шаг 3: Подставим известные значения: \( \cos 180^{\circ} = -1 \), \( \sin 180^{\circ} = 0 \), \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) .
  \( \cos 240^{\circ} = (-1) \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)