ГДЗ: Упражнение 483 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо вычислить \( \cos(\pi + \alpha) \) . Используем формулу косинуса суммы:

• Шаг 1: Применим формулу \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \) с \( \beta = \pi \):
  \( \cos(\pi + \alpha) = \cos\pi \cos\alpha - \sin\pi \sin\alpha \)
• Шаг 2: Подставим значения \( \cos\pi = -1 \) и \( \sin\pi = 0 \):
  \( \cos(\pi + \alpha) = (-1) \cdot \cos\alpha - 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha \)
• Шаг 3: Найдем \( \cos\alpha \) , используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) . Дано \( \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (I четверть, где \( \cos\alpha > 0 \)):
  \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
  \( \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
• Шаг 4: Подставим найденное значение в выражение для \( \cos(\pi + \alpha) \):
  \( \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{3} \)

Необходимо вычислить \( \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) \) . Используем формулу косинуса разности:

• Шаг 1: Применим формулу \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \) с \( \beta = \frac{\pi}{4} \):
  \( \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} \)
• Шаг 2: Подставим значения \( \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) :
  \( \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\alpha + \sin\alpha) \)
• Шаг 3: Найдем \( \sin\alpha \) , используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) . Дано \( \cos\alpha = -\frac{1}{3} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть, где \( \sin\alpha < 0 \)):
  \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
  \( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
• Шаг 4: Подставим найденные значения \( \cos\alpha \) и \( \sin\alpha \) в выражение:
  \( \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{1}{3} + \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{1 + 2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}(1 + 2\sqrt{2})}{6} \)
  Раскроем скобки:
  \( -\frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{6} = -\frac{\sqrt{2} + 2\cdot 2}{6} = -\frac{\sqrt{2} + 4}{6} \)

Ответ: \( -\frac{4 + \sqrt{2}}{6} \)