ГДЗ: Упражнение 490 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для вычисления \( \text{tg}(\alpha + \beta) \) по формуле \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) нам нужны значения \( \text{tg}\alpha \) и \( \text{tg}\beta \) .

1. Нахождение \( \text{tg}\alpha \)

• Дано: \( \sin\alpha = \frac{4}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть). В II четверти \( \cos\alpha < 0 \) .
• Находим \( \cos\alpha \):
  \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
  Так как \( \cos\alpha < 0 \), то \( \cos\alpha = -\frac{3}{5} \) .
• Находим \( \text{tg}\alpha \):
  \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \) .

2. Нахождение \( \text{tg}\beta \)

• Дано: \( \cos\beta = \frac{8}{17} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \) (IV четверть). В IV четверти \( \sin\beta < 0 \) .
• Находим \( \sin\beta \):
  \( \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \)
  Так как \( \sin\beta < 0 \), то \( \sin\beta = -\frac{15}{17} \) .
• Находим \( \text{tg}\beta \):
  \( \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{-\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = -\frac{15}{8} \) .

3. Вычисление \( \text{tg}(\alpha + \beta) \)

• Шаг 1: Применим формулу тангенса суммы:
  \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} = \frac{-\frac{4}{3} + \left(-\frac{15}{8}\right)}{1 - \left(-\frac{4}{3}\right) \left(-\frac{15}{8}\right)} \)
• Шаг 2: Упростим числитель:
  \( -\frac{4}{3} - \frac{15}{8} = -\frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 8} - \frac{15 \cdot 3}{8 \cdot 3} = -\frac{32}{24} - \frac{45}{24} = -\frac{77}{24} \)
• Шаг 3: Упростим знаменатель:
  \( 1 - \left(-\frac{4}{3}\right) \left(-\frac{15}{8}\right) = 1 - \frac{4 \cdot 15}{3 \cdot 8} = 1 - \frac{60}{24} = 1 - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \)
• Шаг 4: Разделим числитель на знаменатель:
  \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{77}{24}}{-\frac{3}{2}} = \frac{77}{24} \cdot \frac{2}{3} = \frac{77 \cdot 2}{24 \cdot 3} = \frac{77}{12 \cdot 3} = \frac{77}{36} \)

Ответ: \( \frac{77}{36} \)