ГДЗ: Упражнение 488 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для вычисления \( \cos(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha - \beta) \) нам нужны значения \( \cos\alpha \) и \( \cos\beta \) .

1. Нахождение \( \cos\alpha \) и \( \cos\beta \)

• Для угла \( \alpha \):
  Дано: \( \sin\alpha = -\frac{3}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть). В III четверти \( \cos\alpha < 0 \) .
  Используем \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \) :
  \( \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
  Так как \( \cos\alpha < 0 \), то \( \cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \) .
• Для угла \( \beta \):
  Дано: \( \sin\beta = \frac{8}{17} \) и \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \) (I четверть). В I четверти \( \cos\beta > 0 \) .
  Используем \( \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta \) :
  \( \cos^2\beta = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} \)
  Так как \( \cos\beta > 0 \), то \( \cos\beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \) .

2. Вычисление \( \cos(\alpha + \beta) \)

• Шаг 1: Применим формулу \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \) .
• Шаг 2: Подставим найденные значения:
  \( \cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{15}{17}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{8}{17}\right) \)
• Шаг 3: Вычислим:
  \( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{60}{85} - \left(-\frac{24}{85}\right) = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = -\frac{36}{85} \)

3. Вычисление \( \cos(\alpha - \beta) \)

• Шаг 1: Применим формулу \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \) .
• Шаг 2: Подставим найденные значения:
  \( \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{15}{17}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{8}{17}\right) \)
• Шаг 3: Вычислим:
  \( \cos(\alpha - \beta) = -\frac{60}{85} + \left(-\frac{24}{85}\right) = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} = -\frac{84}{85} \)

Ответ: \( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{36}{85} \), \( \cos(\alpha - \beta) = -\frac{84}{85} \)