ГДЗ: Упражнение 496 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Данное выражение имеет вид \( \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \) , что является формулой синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) \) .

• Шаг 1: Определим \( \alpha \) и \( \beta \) из выражения:
  \( \alpha_{выр.} = \alpha \), \( \beta_{выр.} = 2\alpha \)
• Шаг 2: Применим формулу синуса суммы:
  \( \sin\alpha \cos 2\alpha + \cos\alpha \sin 2\alpha = \sin(\alpha + 2\alpha) \)
• Шаг 3: Упростим аргумент синуса:
  \( \sin(\alpha + 2\alpha) = \sin 3\alpha \)

Ответ: \( \sin 3\alpha \)

Упростим выражение \( \sin 5\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta \) .

• Шаг 1: В выражении нет точной формы для формулы сложения. Предположим, что допущена опечатка и имелось в виду одно из следующих выражений, которые соответствуют теме параграфа:
  а) \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \cos 5\beta \sin 3\beta \) (формула синуса разности \( \sin(5\beta - 3\beta) \) )
  б) \( \sin 5\beta \cos 3\beta + \cos 5\beta \sin 3\beta \) (формула синуса суммы \( \sin(5\beta + 3\beta) \) )
  в) \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta \) (то же, что а) )
• Шаг 2: Если бы выражение было \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \cos 5\beta \sin 3\beta \) , то:
  \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \cos 5\beta \sin 3\beta = \sin(5\beta - 3\beta) = \sin 2\beta \) .
• Шаг 3: Поскольку в оригинальном выражении \( \cos 5\beta \) повторяется, попробуем вынести его за скобки:
  \( \sin 5\beta \cos 5\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta = \cos 5\beta (\sin 5\beta - \sin 3\beta) \) .
  (Дальнейшее упрощение потребует формул преобразования разности синусов в произведение, которые изучаются позже).
• Шаг 4: Наиболее вероятно, что в задании опечатка. Рассмотрим вариант, где \( \cos 5\beta \) во втором слагаемом должен быть \( \cos 3\beta \) , а \( \sin 3\beta \) - \( \sin 5\beta \) .
  Предположим, что имелось в виду: \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \cos 5\beta \sin 3\beta \)
• Шаг 5: Применим формулу синуса разности:
  \( \sin 5\beta \cos 3\beta - \cos 5\beta \sin 3\beta = \sin(5\beta - 3\beta) = \sin 2\beta \) .

Ответ (по наиболее вероятной опечатке): \( \sin 2\beta \)