ГДЗ: Упражнение 489 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для вычисления \( \sin(\alpha - \beta) \) по формуле \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \) нам нужны значения \( \sin\alpha \) и \( \cos\beta \) .

1. Нахождение \( \sin\alpha \) и \( \cos\beta \)

• Для угла \( \alpha \):
  Дано: \( \cos\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть). В II четверти \( \sin\alpha > 0 \) .
  Используем \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \) :
  \( \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
  Так как \( \sin\alpha > 0 \), то \( \sin\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) .
• Для угла \( \beta \):
  Дано: \( \sin\beta = -\frac{12}{13} \) и \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть). В III четверти \( \cos\beta < 0 \) .
  Используем \( \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta \) :
  \( \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \)
  Так как \( \cos\beta < 0 \), то \( \cos\beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \) .

2. Вычисление \( \sin(\alpha - \beta) \)

• Шаг 1: Применим формулу \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \) .
• Шаг 2: Подставим найденные значения:
  \( \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \)
• Шаг 3: Вычислим:
  \( \sin(\alpha - \beta) = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{15 + 48}{65} = -\frac{63}{65} \)

Ответ: \( -\frac{63}{65} \)