ГДЗ: Упражнение 486 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо вычислить \( \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \) . Используем формулу синуса суммы:

• Шаг 1: Применим формулу \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \) с \( \beta = \frac{\pi}{6} \):
  \( \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6} \)
• Шаг 2: Подставим известные значения: \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) , \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и \( \cos\alpha = -\frac{3}{5} \) :
  \( \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha - \frac{3}{10} \)
• Шаг 3: Найдем \( \sin\alpha \) , используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) . Дано \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть, где \( \sin\alpha < 0 \)):
  \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
  \( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \)
• Шаг 4: Подставим найденное значение \( \sin\alpha \) в выражение из Шага 2:
  \( \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{2\sqrt{3}}{5} - \frac{3}{10} \)
  Приведем к общему знаменателю:
  \( -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \)

Ответ: \( -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} \)

Необходимо вычислить \( \sin(\pi - \alpha) \) . Используем формулу синуса разности:

• Шаг 1: Применим формулу \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \) с \( \beta = \alpha \) и \( \alpha_{формулы} = \pi \):
  \( \sin(\pi - \alpha) = \sin\pi \cos\alpha - \cos\pi \sin\alpha \)
• Шаг 2: Подставим значения \( \sin\pi = 0 \) и \( \cos\pi = -1 \):
  \( \sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = \sin\alpha \)
• Шаг 3: Подставим данное значение \( \sin\alpha \):
  \( \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Примечание: Значение \( \cos\alpha \) и условие \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) не требуются для вычисления, но они соответствуют тому, что \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) (т.к. \( \sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и угол во II четверти).
\( \sin(\pi - \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)