ГДЗ: Упражнение 494 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо вычислить \( \text{tg}(\alpha + \beta) \) . Используем формулу тангенса суммы \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} \) .

• Шаг 1: Переведем \( \text{tg}\beta \) в дробь:
  \( \text{tg}\beta = 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \) .
• Шаг 2: Подставим значения \( \text{tg}\alpha = -\frac{3}{4} \) и \( \text{tg}\beta = \frac{12}{5} \) в формулу:
  \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{12}{5}\right)} \)
• Шаг 3: Упростим числитель (общий знаменатель 20):
  \( -\frac{3}{4} + \frac{12}{5} = -\frac{3 \cdot 5}{20} + \frac{12 \cdot 4}{20} = \frac{-15 + 48}{20} = \frac{33}{20} \)
• Шаг 4: Упростим знаменатель:
  \( 1 - \left(-\frac{3}{4}\right) \left(\frac{12}{5}\right) = 1 + \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 5} = 1 + \frac{36}{20} = 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5} \)
• Шаг 5: Разделим числитель на знаменатель:
  \( \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}} = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33 \cdot 5}{20 \cdot 14} = \frac{33}{4 \cdot 14} = \frac{33}{56} \)

Ответ: \( \frac{33}{56} \)

Необходимо вычислить \( \text{ctg}(\alpha - \beta) \) . Используем формулу котангенса разности: \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha \text{ctg}\beta + 1}{\text{ctg}\beta - \text{ctg}\alpha} \) .

• Шаг 1: Подставим значения \( \text{ctg}\alpha = \frac{4}{3} \) и \( \text{ctg}\beta = -1 \) в формулу:
  \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1}{-1 - \frac{4}{3}} \)
• Шаг 2: Упростим числитель:
  \( -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} \)
• Шаг 3: Упростим знаменатель:
  \( -1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{7}{3} \)
• Шаг 4: Разделим числитель на знаменатель:
  \( \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{7}{3}} = \frac{1}{7} \)

Ответ: \( \frac{1}{7} \)