ГДЗ: Упражнение 497 - § 28 (Формулы сложения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решим уравнение \( \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1 \) .

• Шаг 1: Левая часть уравнения является формулой косинуса разности:
  \( \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = \cos(6x - 5x) = \cos x \)
• Шаг 2: Заменим левую часть:
  \( \cos x = -1 \)
• Шаг 3: Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Косинус равен -1 в точках \( \pi + 2\pi n \) , где \( n \in \mathbb{Z} \) .
  \( x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение \( \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1 \) .

• Шаг 1: Левая часть уравнения является формулой синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \) .
  Перепишем левую часть, используя свойство коммутативности умножения:
  \( \sin 3x \cos 5x - \cos 3x \sin 5x \) (Здесь \( \alpha = 3x \) , \( \beta = 5x \) ).
  \( \sin 3x \cos 5x - \cos 3x \sin 5x = \sin(3x - 5x) = \sin(-2x) \)
• Шаг 2: Используем свойство нечетности синуса \( \sin(-2x) = -\sin 2x \) .
  Уравнение примет вид:
  \( -\sin 2x = -1 \)
  \( \sin 2x = 1 \)
• Шаг 3: Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен 1 в точках \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) , где \( n \in \mathbb{Z} \) .
  \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
• Шаг 4: Разделим обе части на 2:
  \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение \( \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} + x) - \cos x = 1 \) .

• Шаг 1: Раскроем \( \cos(\frac{\pi}{4} + x) \) по формуле косинуса суммы:
  \( \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x - \sin\frac{\pi}{4} \sin x \)
  \( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \)
• Шаг 2: Подставим это в исходное уравнение:
  \( \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) - \cos x = 1 \)
• Шаг 3: Умножим \( \sqrt{2} \) на скобку (т.к. \( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) ):
  \( 1 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x - \cos x = 1 \)
• Шаг 4: Приведем подобные слагаемые:
  \( \cos x - \sin x - \cos x = 1 \)
  \( -\sin x = 1 \)
  \( \sin x = -1 \)
• Шаг 5: Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен -1 в точках \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \) , где \( n \in \mathbb{Z} \) .
  \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решим уравнение \( \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \sin x = 1 \) .

• Шаг 1: Раскроем \( \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \) по формуле синуса разности:
  \( \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4} \sin \frac{x}{2} \)
  \( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} \)
• Шаг 2: Подставим это в исходное уравнение:
  \( \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2}\right) + \sin x = 1 \)
• Шаг 3: Умножим \( \sqrt{2} \) на скобку (т.к. \( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \) ):
  \( 1 \cdot \cos \frac{x}{2} - 1 \cdot \sin \frac{x}{2} + \sin x = 1 \)
  \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + \sin x = 1 \)
• Шаг 4: Используем формулу двойного угла для \( \sin x \) : \( \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \) .
  \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 \)
• Шаг 5: Перенесем 1 в левую часть и сгруппируем:
  \( (\cos \frac{x}{2} - 1) + (2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = 0 \)
• Шаг 6: Вынесем общие множители. Из второй скобки: \( \sin \frac{x}{2} \) .
  \( (\cos \frac{x}{2} - 1) + \sin \frac{x}{2} (2 \cos \frac{x}{2} - 1) = 0 \)
• Шаг 7: Это уравнение сложно решить без дальнейших преобразований. Возможно, была опечатка в условии, которая упростила бы уравнение до более простого вида, например, если бы \( \sin x \) был \( \sin 2x \) или использовались формулы половинного угла.
  Однако, если использовать тождество \( 1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \) , то \( \cos \frac{x}{2} - 1 = - (1 - \cos \frac{x}{2}) = -2 \sin^2 \frac{x}{4} \) (это не упрощает).
  Попробуем сгруппировать по-другому:
  \( (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + (2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 1) = 0 \)
  Если бы было \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 \) , то \( \text{tg} \frac{x}{2} = 1 \) .
• Шаг 8: Решим уравнение \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 \) при помощи введения вспомогательного угла:
  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) \)
  \( \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \sin x) \) - Неверный путь.
• Шаг 9: Возвращаемся к \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 \) .
  Сделаем замену \( t = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \) . Тогда \( t^2 = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \) , откуда \( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 - t^2 \) .
  Уравнение: \( t + (1 - t^2) = 1 \)
  \( t + 1 - t^2 = 1 \)
  \( t - t^2 = 0 \)
  \( t(1 - t) = 0 \)
  Значит, \( t = 0 \) или \( t = 1 \) .
• Шаг 10: Обратная замена.
  Случай 1: \( t = 0 \)
  \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} \)
  Разделим на \( \cos \frac{x}{2} \) (т.к. если \( \cos \frac{x}{2} = 0 \), то и \( \sin \frac{x}{2} = 0 \), что невозможно):
  \( \text{tg} \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2: \( t = 1 \)
  \( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 1 \)
  Применим метод введения вспомогательного угла:
  \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} \cos\left(\frac{x}{2} + \phi\right) = 1 \) , где \( \cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \sin\phi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) , т.е. \( \phi = -\frac{\pi}{4} \) .
  \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{2} + \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = 1 \)
  \( \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)
  Подслучай 2а: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \pi + 4\pi k \)
  Подслучай 2б: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies \frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \); \( x = 4\pi k \); \( x = \pi + 4\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)