ГДЗ: Упражнение 587 - Параграф § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

587 упражнение:

Вычислить:

1) \( \arcsin 1 - \arcsin (-1) \);

Ответ

Шаг 1: Вычисление \( \arcsin 1 \).
По определению, \( \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \).

Шаг 2: Вычисление \( \arcsin (-1) \).
Используем свойство нечетности: \( \arcsin (-1) = - \arcsin 1 = -\frac{\pi}{2} \).

Шаг 3: Вычисление разности.
\( \arcsin 1 - \arcsin (-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \).

Ответ: \( \pi \)

2) \( \arcsin \frac{1}{2} + \arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \);

Ответ

Шаг 1: Вычисление \( \arcsin \frac{1}{2} \).
По определению, \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

Шаг 2: Вычисление \( \arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \).
Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Используем свойство нечетности: \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Поскольку \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \), то \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} \).

Шаг 3: Вычисление суммы.
\( \arcsin \frac{1}{2} + \arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \).
Приведем к общему знаменателю \( 12 \):
\( \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{12} \)

3) \( \arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ

Шаг 1: Вычисление \( \arcsin \frac{1}{2} \).
По определению, \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

Шаг 2: Вычисление \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \).
По определению, \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).

Шаг 3: Вычисление суммы.
\( \arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \).
Приведем к общему знаменателю \( 6 \):
\( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{2} \)

4) \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arcsin (-\frac{1}{2}) \);

Ответ

Шаг 1: Вычисление \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
Используем свойство нечетности: \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4} \).

Шаг 2: Вычисление \( \arcsin (-\frac{1}{2}) \).
Используем свойство нечетности: \( \arcsin (-\frac{1}{2}) = - \arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6} \).

Шаг 3: Вычисление суммы.
\( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arcsin (-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \).
Приведем к общему знаменателю \( 12 \):
\( -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \).

Ответ: \( -\frac{5\pi}{12} \)

Что применять при решении

Определение арксинуса

Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).

Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Свойство нечетности арксинуса

Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.

\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).

Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)

Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).

\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)

Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.

\( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Другие упражнения из параграфа § 34

586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6
Параграф: § 34 — Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.