ГДЗ: Упражнение 589 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Определение арксинуса. Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \). Поскольку \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), то \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу для решения уравнения \( \sin x = a \): \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). Подставляем найденное значение арксинуса: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
2)
\( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Ответ
Шаг 1: Определение арксинуса. Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \). Поскольку \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), то \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). Подставляем найденное значение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу: \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). Подставляем найденное значение: \( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n \). Поскольку \( (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} \), то: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
