ГДЗ: Упражнение 590 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Проверка допустимости. Проверим, лежит ли аргумент \( a = \frac{2}{7} \) в пределах \( [-1; 1] \). Так как \( -1 \le \frac{2}{7} \le 1 \), решение существует.
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \): \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). Поскольку значение \( \frac{2}{7} \) не является табличным, мы оставляем решение в виде арксинуса: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{2}{7} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{2}{7} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
2)
\( \sin x = -\frac{1}{4} \);
Ответ
Шаг 1: Проверка допустимости. Проверим, лежит ли аргумент \( a = -\frac{1}{4} \) в пределах \( [-1; 1] \). Так как \( -1 \le -\frac{1}{4} \le 1 \), решение существует.
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \): \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). Поскольку значение \( -\frac{1}{4} \) не является табличным, мы оставляем решение в виде арксинуса: \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{4}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Использование свойства нечетности (опционально). Можно упростить, используя \( \arcsin (-\frac{1}{4}) = - \arcsin \frac{1}{4} \): \( x = (-1)^n (- \arcsin \frac{1}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{4}) + \pi n \) или \( x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
3)
\( \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} \);
Ответ
Шаг 1: Проверка допустимости. Проверим, лежит ли аргумент \( a = \frac{\sqrt{5}}{3} \) в пределах \( [-1; 1] \). Сравним \( \frac{\sqrt{5}}{3} \) с \( 1 \): \( \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1 \iff \sqrt{5} \le 3 \iff 5 \le 9 \). Так как \( 5 \le 9 \) — верно, то \( \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1 \). Следовательно, решение существует.
Шаг 2: Применение общей формулы. Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \): \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
