ГДЗ: Упражнение 599 - Параграф § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Доказать, что \( \sin (\arcsin a) = a \) при \( -1 \le a \le 1 \). Вычислить:

1) \( \sin (\arcsin \frac{1}{7}) \);

Ответ

Шаг 1: Применение тождества.
По определению арксинуса, \( \arcsin a \) — это угол, синус которого равен \( a \). Следовательно, \( \sin (\arcsin a) = a \), если \( -1 \le a \le 1 \).

Шаг 2: Вычисление.
Так как \( \frac{1}{7} \in [-1; 1] \), то \( \sin (\arcsin \frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \).

Ответ: \( \frac{1}{7} \)

2) \( \sin (\arcsin (-\frac{1}{5})) \);

Ответ

Шаг 1: Применение тождества.
Тождество: \( \sin (\arcsin a) = a \), при \( -1 \le a \le 1 \).

Шаг 2: Вычисление.
Так как \( -\frac{1}{5} \in [-1; 1] \), то \( \sin (\arcsin (-\frac{1}{5})) = -\frac{1}{5} \).

Ответ: \( -\frac{1}{5} \)

3) \( \sin (\pi + \arcsin \frac{4}{5}) \);

Ответ

Шаг 1: Применение формулы приведения.
Используем формулу приведения для синуса: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
Здесь \( \alpha = \arcsin \frac{4}{5} \).
\( \sin (\pi + \arcsin \frac{4}{5}) = -\sin (\arcsin \frac{4}{5}) \).

Шаг 2: Вычисление.
Используем тождество \( \sin (\arcsin a) = a \):
\( -\sin (\arcsin \frac{4}{5}) = -\frac{4}{5} \).

Ответ: \( -\frac{4}{5} \)

4) \( \cos (\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}) \);

Ответ

Шаг 1: Применение формулы приведения.
Используем формулу приведения для косинуса: \( \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha \).
Здесь \( \alpha = \arcsin \frac{1}{3} \).
\( \cos (\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}) = -\sin (\arcsin \frac{1}{3}) \).

Шаг 2: Вычисление.
Используем тождество \( \sin (\arcsin a) = a \):
\( -\sin (\arcsin \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( -\frac{1}{3} \)

5) \( \cos (\arcsin \frac{4}{5}) \);

Ответ

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества.
Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{4}{5} \). По определению, \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (так как \( \frac{4}{5} > 0 \)).
Нам нужно найти \( \cos \alpha \). Используем тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \).

Шаг 2: Нахождение косинуса.
Поскольку \( \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \cos \alpha > 0 \).
\( \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
Следовательно, \( \cos (\arcsin \frac{4}{5}) = \frac{3}{5} \).

Ответ: \( \frac{3}{5} \)

6) \( \text{tg} (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) \);

Ответ

Шаг 1: Использование тождества и определение.
Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Так как \( \frac{1}{\sqrt{10}} > 0 \), то \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Нам нужно найти \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Шаг 2: Нахождение \( \cos \alpha \).
Используем \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \):
\( \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).
Поскольку \( \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \).

Шаг 3: Нахождение тангенса.
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3} \).
Следовательно, \( \text{tg} (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) = \frac{1}{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \)

599 упражнение:

Что применять при решении

Определение арксинуса

Свойство нечетности арксинуса

Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)

Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)

Другие упражнения из параграфа § 34

Данные параграфа

Уведомление об авторском праве и цитировании