1)
Ответ
Шаг 1.1: Область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi \).
Шаг 1.2: Решение неравенства.
\( \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 \). Поскольку основание логарифма \( \pi \approx 3.14 > 1 \), функция \( \log_{\pi} t \) возрастает. Значит, можно убрать логарифм без смены знака неравенства:
\( x - 4\pi < \pi^1 \).
\( x < 5\pi \).
Шаг 1.3: Объединение с ОДЗ.
Учитывая \( x > 4\pi \), получаем интервал, которому должны принадлежать корни: \( 4\pi < x < 5\pi \).
Шаг 2.1: Общее решение.
Уравнение: \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Главное значение: \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
Общее решение для \( \frac{x}{2} \):
\( \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2.2: Выражение \( x \).
Умножим на 2:
\( x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3.1: Подбор \( n \).
Нам нужно, чтобы \( 4\pi < x < 5\pi \). Учитывая, что \( 2\pi n \) — основной сдвиг, имеет смысл искать целые \( n \) около \( 2 \):
Часть 1: Решение логарифмического неравенства.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi \).
\( \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 \). Поскольку основание логарифма \( \pi \approx 3.14 > 1 \), функция \( \log_{\pi} t \) возрастает. Значит, можно убрать логарифм без смены знака неравенства:
\( x - 4\pi < \pi^1 \).
\( x < 5\pi \).
Учитывая \( x > 4\pi \), получаем интервал, которому должны принадлежать корни: \( 4\pi < x < 5\pi \).
Часть 2: Общее решение тригонометрического уравнения.
Уравнение: \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Главное значение: \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
Общее решение для \( \frac{x}{2} \):
\( \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Умножим на 2:
\( x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Часть 3: Поиск корней, удовлетворяющих условию.
Нам нужно, чтобы \( 4\pi < x < 5\pi \). Учитывая, что \( 2\pi n \) — основной сдвиг, имеет смысл искать целые \( n \) около \( 2 \):
- Случай \( n = 2k \) (четные): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (2k) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).
Проверим для \( k = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \).
Проверка: \( 4\pi < \frac{14\pi}{3} < 5\pi \implies 12\pi < 14\pi < 15\pi \). Делим на \( \pi \): \( 12 < 14 < 15 \) — Верно. (\( \frac{14}{3} \approx 4.67 \)).
При \( k = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \) (не в интервале). При \( k = 2 \), \( x = \frac{2\pi}{3} + 8\pi \) (слишком много). - Случай \( n = 2k + 1 \) (нечетные): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi (2k + 1) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).
Проверим для \( k = 1 \): \( x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi = \frac{4\pi + 12\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} \).
Проверка: \( 4\pi < \frac{16\pi}{3} < 5\pi \implies 12\pi < 16\pi < 15\pi \). Делим на \( \pi \): \( 12 < 16 < 15 \) — Неверно. (\( \frac{16}{3} \approx 5.33 \)).
При \( k = 0 \): \( x = \frac{4\pi}{3} \) (не в интервале).
Единственный корень, удовлетворяющий условию, это \( x = \frac{14\pi}{3} \).
Ответ: \( x = \frac{14\pi}{3} \)