ГДЗ: Упражнение 596 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Применение свойства произведения. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю: Случай 1: \( 4 \sin x - 3 = 0 \implies 4 \sin x = 3 \implies \sin x = \frac{3}{4} \). Случай 2: \( 2 \sin x + 1 = 0 \implies 2 \sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2} \).
Шаг 2: Решение Случая 1. \( \sin x = \frac{3}{4} \). Поскольку \( \frac{3}{4} \in [-1; 1] \): \( x_1 = (-1)^n \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Решение Случая 2. \( \sin x = -\frac{1}{2} \). Это табличное значение: \( \arcsin (-\frac{1}{2}) = - \arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6} \). \( x_2 = (-1)^k \arcsin (-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{3}{4} + \pi n \) и \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \ n, k \in \mathbb{Z} \)
2)
\( (4 \sin x - 1) (2 \sin x + 3) = 0 \);
Ответ
Шаг 1: Применение свойства произведения. Приравниваем каждый множитель к нулю: Случай 1: \( 4 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \). Случай 2: \( 2 \sin x + 3 = 0 \implies 2 \sin x = -3 \implies \sin x = -\frac{3}{2} \).
Шаг 2: Решение Случая 1. \( \sin x = \frac{1}{4} \). Поскольку \( \frac{1}{4} \in [-1; 1] \): \( x_1 = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Решение Случая 2. \( \sin x = -\frac{3}{2} \). Поскольку \( -\frac{3}{2} = -1.5 \) и \( -1.5 < -1 \), уравнение \( \sin x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений, так как \( |\sin x| \le 1 \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
