ГДЗ: Упражнение 591 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Решение уравнения для аргумента. Это частный случай: \( \sin \alpha = 1 \). Решение: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \alpha = 3x \), следовательно: \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2: Выражение \( x \). Разделим обе части на \( 3 \): \( x = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \ n \in \mathbb{Z} \)
2)
\( \sin 2x = -1 \);
Ответ
Шаг 1: Решение уравнения для аргумента. Это частный случай: \( \sin \alpha = -1 \). Решение: \( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \alpha = 2x \), следовательно: \( 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2: Выражение \( x \). Разделим обе части на \( 2 \): \( x = \frac{1}{2} (- \frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
3)
\( \sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1 \);
Ответ
Шаг 1: Изоляция синуса. Разделим обе части на \( \sqrt{2} \): \( \sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Шаг 3: Применение общей формулы для аргумента. Аргумент в уравнении \( \frac{x}{3} \). Используем общую формулу: \( \frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). \( \frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 4: Выражение \( x \). Умножим обе части на \( 3 \): \( x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
4)
\( 2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \);
Ответ
Шаг 1: Изоляция синуса. Разделим обе части на \( 2 \): \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Шаг 2: Определение арксинуса. Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3: Применение общей формулы для аргумента. Аргумент в уравнении \( \frac{x}{2} \). Используем общую формулу: \( \frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). \( \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 4: Выражение \( x \). Умножим обе части на \( 2 \): \( x = 2 \cdot \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
5)
\( \sin (x + \frac{\pi}{4}) = 0 \);
Ответ
Шаг 1: Решение уравнения для аргумента. Это частный случай: \( \sin \alpha = 0 \). Решение: \( \alpha = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \alpha = x + \frac{\pi}{4} \), следовательно: \( x + \frac{\pi}{4} = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2: Выражение \( x \). Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих частей: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
6)
\( \sin (2x + \frac{\pi}{3}) = 0 \);
Ответ
Шаг 1: Решение уравнения для аргумента. Это частный случай: \( \sin \alpha = 0 \). Решение: \( \alpha = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \alpha = 2x + \frac{\pi}{3} \), следовательно: \( 2x + \frac{\pi}{3} = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2: Выражение \( 2x \). Вычтем \( \frac{\pi}{3} \) из обеих частей: \( 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Выражение \( x \). Разделим обе части на \( 2 \): \( x = \frac{1}{2} (- \frac{\pi}{3} + \pi n) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
