1)
Ответ
Шаг 2: Проверка диапазона.
Поскольку \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \), то \( 0 \le 2\alpha \le \pi \). Это удовлетворяет области определения арккосинуса.
Шаг 3: Применение формулы двойного угла.
Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \).
Шаг 4: Подстановка.
Поскольку \( \alpha = \arcsin a \), то \( \sin \alpha = a \). Подставим это в формулу из шага 3:
\( \cos 2\alpha = 1 - 2 (\sin \alpha)^2 = 1 - 2a^2 \).
Шаг 5: Заключение.
Так как \( \cos 2\alpha = 1 - 2a^2 \) и \( 0 \le 2\alpha \le \pi \), по определению арккосинуса:
\( 2\alpha = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).
Подставляя \( \alpha = \arcsin a \), получаем:
\( 2 \arcsin a = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).
Шаг 1: Обозначение и условия.
Пусть \( \alpha = \arcsin a \). Поскольку \( 0 \le a \le 1 \), по определению арксинуса имеем \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Требуется доказать, что \( 2\alpha = \text{arccos} (1 - 2a^2) \), или, что эквивалентно, \( \cos (2\alpha) = 1 - 2a^2 \) и \( 2\alpha \in [0; \pi] \).
Поскольку \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \), то \( 0 \le 2\alpha \le \pi \). Это удовлетворяет области определения арккосинуса.
Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \).
Поскольку \( \alpha = \arcsin a \), то \( \sin \alpha = a \). Подставим это в формулу из шага 3:
\( \cos 2\alpha = 1 - 2 (\sin \alpha)^2 = 1 - 2a^2 \).
Так как \( \cos 2\alpha = 1 - 2a^2 \) и \( 0 \le 2\alpha \le \pi \), по определению арккосинуса:
\( 2\alpha = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).
Подставляя \( \alpha = \arcsin a \), получаем:
\( 2 \arcsin a = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).
Ответ: Доказательство приведено в пояснениях.