ГДЗ: Упражнение 592 - Параграф § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

592 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sin 4x \cos 2x = \cos 4x \sin 2x \);

Ответ

Шаг 1: Применение формулы синуса разности.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
\( \sin 4x \cos 2x - \cos 4x \sin 2x = 0 \).
Левая часть — это формула синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
\( \sin (4x - 2x) = 0 \).
\( \sin 2x = 0 \).

Шаг 2: Решение простейшего уравнения.
Это частный случай: \( \sin \alpha = 0 \). Решение: \( \alpha = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = 2x \), следовательно:
\( 2x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Выражение \( x \).
Разделим на \( 2 \):
\( x = \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \)

2) \( \cos 2x \cos 3x = \sin 2x \sin 3x \);

Ответ

Шаг 1: Применение формулы косинуса суммы.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
\( \cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x = 0 \).
Левая часть — это формула косинуса суммы: \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
\( \cos (2x + 3x) = 0 \).
\( \cos 5x = 0 \).

Шаг 2: Решение простейшего уравнения.
Уравнение \( \cos \alpha = 0 \) имеет решение \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = 5x \), следовательно:
\( 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Выражение \( x \).
Разделим на \( 5 \):
\( x = \frac{1}{5} (\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \ n \in \mathbb{Z} \)

Что применять при решении

Определение арксинуса

Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).

Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Свойство нечетности арксинуса

Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.

\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).

Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)

Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).

\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)

Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.

\( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Другие упражнения из параграфа § 34

586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6
Параграф: § 34 — Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.