ГДЗ: Упражнение 594 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Изоляция синуса. Перенесем \( 4 \sin x \) в правую часть: \( 1 = 4 \sin x \). Разделим на \( 4 \): \( \sin x = \frac{1}{4} \).
Шаг 2: Применение общей формулы. Поскольку \( \frac{1}{4} \in [-1; 1] \) и не является табличным значением, решение записывается через арксинус: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
2)
\( \sqrt{3} + 4 \sin x = 0 \);
Ответ
Шаг 1: Изоляция синуса. Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть: \( 4 \sin x = -\sqrt{3} \). Разделим на \( 4 \): \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \).
Шаг 2: Применение общей формулы. Проверим допустимость: \( -1 \le -\frac{\sqrt{3}}{4} \le 1 \). Поскольку \( \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} \approx 0.433 \), решение существует. Решение записывается через арксинус: \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{4}) + \pi n \). Используя свойство нечетности \( \arcsin (-a) = -\arcsin a \): \( x = (-1)^n (- \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Шаг 2: Применение общей формулы для аргумента. Аргумент: \( \frac{x}{4} \). Так как \( -\frac{1}{6} \in [-1; 1] \), решение существует: \( \frac{x}{4} = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{6}) + \pi n \). Используем свойство нечетности: \( \frac{x}{4} = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{6} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Выражение \( x \). Умножим обе части на \( 4 \): \( x = 4 \cdot \left( (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} 4 \arcsin \frac{1}{6} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^{n+1} 4 \arcsin \frac{1}{6} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Шаг 2: Применение общей формулы для аргумента. Аргумент: \( \frac{x}{3} \). Так как \( \frac{1}{8} \in [-1; 1] \), решение существует: \( \frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin \frac{1}{8} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Выражение \( x \). Умножим обе части на \( 3 \): \( x = 3 \cdot \left( (-1)^n \arcsin \frac{1}{8} + \pi n \right) = (-1)^n 3 \arcsin \frac{1}{8} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = (-1)^n 3 \arcsin \frac{1}{8} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
