ГДЗ: Упражнение 597 - Параграф § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

597 упражнение:

Найти все корни уравнения \( \sin 2x = \frac{1}{2} \), принадлежащие отрезку \( [0; 2\pi] \).

1)

Ответ

Шаг 1: Общее решение уравнения.
Уравнение: \( \sin 2x = \frac{1}{2} \). Аргумент: \( 2x \).
Главное значение \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).
Общее решение для \( 2x \):
\( 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
Разделим на \( 2 \) для нахождения \( x \):
\( x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Выбор корней на отрезке \( [0; 2\pi] \).
Переберем целые значения \( n \):

При \( n = 0 \): \( x = (-1)^0 \frac{\pi}{12} + 0 = \frac{\pi}{12} \). \(( \frac{\pi}{12} \in [0; 2\pi] )\)
При \( n = 1 \): \( x = (-1)^1 \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \). \(( \frac{5\pi}{12} \in [0; 2\pi] )\)
При \( n = 2 \): \( x = (-1)^2 \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \). \(( \frac{13\pi}{12} \in [0; 2\pi] )\)
При \( n = 3 \): \( x = (-1)^3 \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{18\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} \). \(( \frac{17\pi}{12} \in [0; 2\pi] )\)
При \( n = 4 \): \( x = (-1)^4 \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} \). \(( \frac{25\pi}{12} > 2\pi )\), не подходит.
При \( n = -1 \): \( x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \). \(( -\frac{7\pi}{12} < 0 )\), не подходит.

Корни на отрезке: \( \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12} \).

Ответ: Корни, принадлежащие отрезку \( [0; 2\pi] \), это \( \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12} \).

Что применять при решении

Определение арксинуса

Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).

Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Свойство нечетности арксинуса

Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.

\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).

Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)

Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).

\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)

Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.

\( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Другие упражнения из параграфа § 34

586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6
Параграф: § 34 — Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.