ГДЗ: Упражнение 602 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества. Пусть \( \beta = \text{arccos} \frac{2}{3} \). Тогда \( \cos \beta = \frac{2}{3} \). По определению арккосинуса, \( \beta \in [0; \pi] \). Так как \( \frac{2}{3} > 0 \), \( \beta \in (0; \frac{\pi}{2}) \), и \( \sin \beta > 0 \). Нам нужно найти \( \sin \beta \). Используем \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} \): \( \sin (\text{arccos} \frac{2}{3}) = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{3} \)
2)
\( \sin (\text{arccos} (-\frac{1}{2})) \);
Ответ
Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества. Пусть \( \beta = \text{arccos} (-\frac{1}{2}) \). Тогда \( \cos \beta = -\frac{1}{2} \). По определению, \( \beta \in [0; \pi] \). Так как \( -\frac{1}{2} < 0 \), \( \beta \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \). В этом интервале \( \sin \beta > 0 \). Нам нужно найти \( \sin \beta \). Используем \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} \): \( \sin (\text{arccos} (-\frac{1}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). (Заметим, что \( \text{arccos} (-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \), и \( \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)).
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Что применять при решении
Определение арксинуса
Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Свойство нечетности арксинуса
Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
