Найдите кратчайшие пути по поверхности куба из передней левой нижней вершины K в переднюю правую нижнюю L. Вершина M — задняя левая верхняя.
Путь должен пройти через M.
Пусть ребро куба равно a. От K до M идём по диагонали левой грани: a√2. От M до противоположной вершины L разворачиваем две соседние грани в прямоугольник со сторонами 2a и a и проводим его диагональ: a√5. Соединение этих двух отрезков даёт кратчайший путь через M. Ответ: a(√2 + √5).
Путь должен пересекать все горизонтальные рёбра, кроме KL.
Обозначим B заднюю левую нижнюю вершину, T переднюю правую верхнюю; ребро куба равно a. Если касание ребра в его вершине считается пересечением, кратчайший путь: K → B → M → T → L. Здесь KB — нижнее левое ребро, B лежит на нижнем заднем, L — на нижнем правом. Вершины M и T принадлежат всем четырём верхним горизонтальным рёбрам; MT — диагональ верхней грани. Длина: a + a + a√2 + a = (3 + √2)a. Ребро KL путь не проходит, только имеет с ним общие концы K и L.
Почему короче нельзя (дополнительное обоснование). Пусть P и Q — первое и последнее посещения верхних горизонтальных рёбер. Между ними путь должен охватить полную ширину и глубину куба, поэтому его длина не меньше a√2. Если нижнее заднее ребро посещается до P или после Q, остальные части суммарно не короче 3a: нужен путь от переднего края к заднему длиной не менее a и два перехода между уровнями длиной не менее a каждый. Если заднее нижнее ребро посещается между P и Q, этот участок дополнительно спускается и поднимается на a: его длина не меньше a√6, а внешние участки вместе не меньше 2a; 2 + √6 больше 3 + √2.
Если под пересечением понимать только прохождение через внутренние точки рёбер, не разрешая касаний вершин и движения по ребру, минимум не достигается: небольшими обходами вершин можно приблизиться к указанной длине сколь угодно близко. Условие требует уточнения этой трактовки.
Например, 84 = 2² · 3 · 7. Единственное чётное простое число — 2. Делители произведения проверяют по составу простых множителей.
Для работы в классе
Повторение
Упражнения
Проверочные работы
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
