ГДЗ: Упражнение 546 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества.

• Основное тригонометрическое тождество гласит: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
• Отсюда можно выразить косинус: \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).

Шаг 2: Подстановка значения \( \sin \alpha \).

• Подставим данное значение \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \) в формулу:
• \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3} \).

Шаг 3: Нахождение \( \cos \alpha \) и определение знака.

• Из \( \cos^2 \alpha = \frac{2}{3} \) следует, что \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \).
• Дано, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть. Вторая четверть — это область, где \( \cos \alpha < 0 \).
• Следовательно, нужно выбрать отрицательное значение.

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3} \).

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества для нахождения \( \sin \alpha \).

• \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
• Подставим данное значение \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \):
• \( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9 - 5}{9} = \frac{4}{9} \).

Шаг 2: Нахождение \( \sin \alpha \) и определение знака.

• Из \( \sin^2 \alpha = \frac{4}{9} \) следует, что \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3} \).
• Дано, что \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Это третья четверть. В третьей четверти \( \sin \alpha < 0 \).
• Следовательно, \( \sin \alpha = -\frac{2}{3} \).

Шаг 3: Нахождение \( \operatorname{tg} \alpha \).

• По определению, \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Подставим найденные значения: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \).
• Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \).

Ответ: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \).