ГДЗ: Упражнение 561 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование искомого выражения.

• Числитель: \( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha \).
• Искомое выражение: \( \frac{-\cos 2\alpha}{\cos \alpha} \).

Шаг 2: Использование данного условия.

• Возведем данное условие в квадрат: \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \).
• \( \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \).
• Используем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и формулу двойного угла \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).
• \( 1 - \sin 2\alpha = \frac{1}{4} \).
• Отсюда \( \sin 2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).

Шаг 3: Выражение \( \cos \alpha \) и \( \cos 2\alpha \) через \( \sin 2\alpha \).

• \( \cos 2\alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \).
• Из \( \sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2} > 0 \) следует, что \( \sin \alpha > \cos \alpha \).
• \( \cos \alpha \) можно выразить через \( \sin 2\alpha \). \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha \).
• \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = -(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) = -\frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{4} \). (Это верно, так как \( \sin \alpha - \cos \alpha > 0 \)).
• Из \( \sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2} \) и \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{2} \) получим \( 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} \).
• \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{7} - 1}{4} \).

Шаг 4: Окончательное вычисление.

• \( \frac{-\cos 2\alpha}{\cos \alpha} = \frac{-(-\frac{\sqrt{7}}{4})}{\frac{\sqrt{7} - 1}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{7} - 1}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - 1} \).
• Избавимся от иррациональности: \( \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)} = \frac{7 + \sqrt{7}}{7 - 1} = \frac{7 + \sqrt{7}}{6} \).

Ответ: \( \frac{7 + \sqrt{7}}{6} \).