ГДЗ: Упражнение 566 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование произведения косинусов.

• Применим формулу произведения косинусов: \( \cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x - y) + \cos(x + y)] \).
• Пусть \( x = \frac{\pi}{3} - \alpha \) и \( y = \frac{\pi}{3} + \alpha \).
• \( x - y = (\frac{\pi}{3} - \alpha) - (\frac{\pi}{3} + \alpha) = -2\alpha \).
• \( x + y = (\frac{\pi}{3} - \alpha) + (\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{2\pi}{3} \).
• \( \cos (\frac{\pi}{3} - \alpha) \cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2} [\cos (-2\alpha) + \cos \frac{2\pi}{3}] \).

Шаг 2: Вычисление косинусов.

• \( \cos (-2\alpha) = \cos 2\alpha \) (косинус — четная функция).
• \( \cos \frac{2\pi}{3} = \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).
• Произведение: \( \frac{1}{2} [\cos 2\alpha - \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{4} \).

Шаг 3: Подстановка в левую часть (ЛЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \sin^2 \alpha + (\frac{1}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{4}) \).

Шаг 4: Применение формулы понижения степени.

• Используем \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\alpha) + \frac{1}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{4} \).

Шаг 5: Упрощение.

• \( \text{ЛЧ} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \).

Шаг 6: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \frac{1}{4} = \text{ПЧ} \).

Вывод: Тождество доказано.