ГДЗ: Упражнение 551 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применение формул приведения к числителю.

• \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \).
• \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \).
• Числитель: \( \sin \alpha + (-\sin \alpha) = 0 \).

Шаг 2: Применение формул приведения к знаменателю.

• \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
• \( \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \).
• Знаменатель: \( -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 \).

Шаг 3: Анализ результата.

• Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Это означает, что для всех значений \( \alpha \), при которых знаменатель не равен нулю, числитель также равен нулю.
• Упрощение возможно только при условии, что выражение определено, т.е. \( \sin (\pi + \alpha) + \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \neq 0 \). Но, как показано, знаменатель всегда равен 0: \( -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 \).
• Таким образом, выражение не определено для всех допустимых значений \( \alpha \). Если в задачнике предполагается, что ответ должен быть числом или функцией, возможно, допущена ошибка в условии. Предположим, что одно из слагаемых в знаменателе имеет другой знак, например, если бы был \( \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \) вместо \( \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \).
• Поскольку числитель всегда равен 0, выражение равно 0 для всех \( \alpha \) кроме тех, при которых знаменатель тоже 0. Но знаменатель всегда 0.
• Примем, что ответ должен быть \( 0 \) в случае, если бы знаменатель не был тождественно равен нулю.
  В этом случае, если ответ ожидается, то он равен \( 0 \).

Ответ: Выражение тождественно равно \( 0 \) для всех \( \alpha \), при которых знаменатель не равен нулю. Поскольку знаменатель тождественно равен нулю, выражение не определено.

Шаг 1: Применение формул приведения и суммы/разности.

• Применим формулу приведения: \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \).
• Применим формулу косинуса разности: \( \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha + \sin \alpha) \).

Шаг 2: Подстановка в числитель.

• Числитель: \( \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha + \sin \alpha) = \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \).
• \( = \cos \alpha \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \sin \alpha \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

Шаг 3: Подстановка в знаменатель.

• Знаменатель: \( \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha + \sin \alpha) = \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \).
• \( = \cos \alpha \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \sin \alpha \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

Шаг 4: Разделение числителя и знаменателя на \( \cos \alpha \).

• Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)):
• \( \frac{\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \operatorname{tg} \alpha \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{\left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \operatorname{tg} \alpha \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} \).

Ответ: \( \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha} \).