А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
563 упражнение:
Доказать тождество:
1)
\( \sin^2 (\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
Ответ
Шаг 1: Преобразование правой части (ПЧ).
Формула понижения степени: \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \).
\( \text{ПЧ} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\( \text{ПЧ} = 1 - \frac{1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
Шаг 2: Применение формулы суммы косинусов.
\( \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) \).
\( \text{ПЧ} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
Шаг 3: Применение формулы косинуса разности.
\( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
\( \text{ПЧ} = 1 - \cos (\alpha + \beta) (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha \cos \beta - \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha + \beta) \).
\( = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha \cos \beta + \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta \).
Вынесем \( \cos (\alpha + \beta) \): \( 1 - \cos (\alpha + \beta) (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \).
Шаг 4: Применение формулы косинуса суммы.
\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
\( \text{ПЧ} = 1 - \cos (\alpha + \beta) \cdot \cos (\alpha + \beta) = 1 - \cos^2 (\alpha + \beta) \).
Шаг 5: Применение основного тригонометрического тождества.
\( 1 - \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin^2 (\alpha + \beta) \).
Шаг 6: Сравнение с левой частью (ЛЧ).
\( \text{ПЧ} = \sin^2 (\alpha + \beta) = \text{ЛЧ} \).
Вывод: Тождество доказано.
2)
\( \sin \alpha + 2 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha \).
Ответ
Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).
Группируем: \( \text{ЛЧ} = (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + 2 \sin 3\alpha \).
Применим формулу суммы синусов: \( \sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \).
\( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + 2 \sin 3\alpha \).
Шаг 2: Вынесение общего множителя.
Вынесем \( 2 \sin 3\alpha \): \( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha + 1) \).
Шаг 3: Применение формулы косинуса двойного угла.
Используем формулу \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \).
\( \text{ЛЧ} = 2 \sin 3\alpha (2 \cos^2 \alpha) = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha \).
Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).
\( \text{ЛЧ} = 4 \sin 3\alpha \cos^2 \alpha = \text{ПЧ} \).
Вывод: Тождество доказано.
Что применять при решении
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Формулы приведения
Правила преобразования тригонометрических функций углов, отличающихся от острого на \( \frac{\pi}{2} \) или \( \pi \) (или кратные им значения).
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha; \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \)
Формулы двойного угла
Выражение синуса, косинуса и тангенса угла \( 2\alpha \) через функции угла \( \alpha \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha; \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)
Формулы понижения степени
Выражение квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла.
\( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \)
Формула суммы синусов
Сумма синусов двух углов.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула разности косинусов
Разность косинусов двух углов.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула тангенса половинного угла
Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус угла.
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Формула произведения синусов
Произведение синусов двух углов.
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 5
Глава
Глава 5
Параграф
Глава 5 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
