ГДЗ: Упражнение 567 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

• Разложим как сумму кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).
• \( \text{ЛЧ} = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 \).
• \( = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) (\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) \).
• Используем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \text{ЛЧ} = \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha \).

Шаг 2: Дальнейшее преобразование.

• \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).
• \( = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).

Шаг 3: Выражение через \( \sin 2\alpha \).

• \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\alpha \).

Шаг 4: Выражение через \( \cos 4\alpha \).

• Формула понижения степени: \( \sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{3}{8} (1 - \cos 4\alpha) \).
• \( = 1 - \frac{3}{8} + \frac{3}{8} \cos 4\alpha = \frac{8 - 3}{8} + \frac{3}{8} \cos 4\alpha = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} \cos 4\alpha \).

Шаг 5: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \frac{1}{8} (5 + 3 \cos 4\alpha) = \text{ПЧ} \).

Вывод: Тождество доказано.

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

• \( \text{ЛЧ} = (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)^2 - 2 \sin^4 \alpha \cos^4 \alpha \).
• Используем \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \) (из 567.1).
• \( \text{ЛЧ} = (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)^2 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^4 \).
• Заменим \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = \left( 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right)^4 \).
• \( = \left( 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{16} \sin^4 2\alpha = \left( 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha \right)^2 - \frac{1}{8} \sin^4 2\alpha \).

Шаг 2: Выражение через \( \cos 4\alpha \).

• Используем \( \sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} \). Обозначим \( x = \cos 4\alpha \).
• \( \sin^2 2\alpha = \frac{1 - x}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = \left( 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - x}{2} \right)^2 - \frac{1}{8} \left( \frac{1 - x}{2} \right)^2 \).
• \( = \left( 1 - \frac{1 - x}{4} \right)^2 - \frac{1}{8} \cdot \frac{(1 - x)^2}{4} \).
• \( = \left( \frac{4 - (1 - x)}{4} \right)^2 - \frac{(1 - x)^2}{32} = \left( \frac{3 + x}{4} \right)^2 - \frac{(1 - x)^2}{32} \).

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю.

• Общий знаменатель 32.
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 (3 + x)^2}{32} - \frac{(1 - x)^2}{32} = \frac{2 (9 + 6x + x^2) - (1 - 2x + x^2)}{32} \).
• \( = \frac{18 + 12x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2}{32} = \frac{x^2 + 14x + 17}{32} \).

Шаг 4: Подстановка \( x = \cos 4\alpha \).

• \( \text{ЛЧ} = \frac{1}{32} (\cos^2 4\alpha + 14 \cos 4\alpha + 17) \).

Шаг 5: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} \).

Вывод: Тождество доказано.