ГДЗ: Упражнение 556 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применение формулы суммы синусов.

• Формула: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = \sin 35^{\circ} + \sin 25^{\circ} = 2 \sin \frac{35^{\circ} + 25^{\circ}}{2} \cos \frac{35^{\circ} - 25^{\circ}}{2} \).

Шаг 2: Вычисление аргументов.

• \( \frac{35^{\circ} + 25^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• \( \frac{35^{\circ} - 25^{\circ}}{2} = \frac{10^{\circ}}{2} = 5^{\circ} \).

Шаг 3: Подстановка значений.

• \( \text{ЛЧ} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 5^{\circ} \).
• Известно, что \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^{\circ} = \cos 5^{\circ} \).

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \cos 5^{\circ} = \text{ПЧ} \).

Вывод: Утверждение доказано.

Шаг 1: Применение формулы суммы косинусов.

• Формула: \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = \cos 12^{\circ} + \cos 48^{\circ} = 2 \cos \frac{12^{\circ} + 48^{\circ}}{2} \cos \frac{12^{\circ} - 48^{\circ}}{2} \).

Шаг 2: Вычисление аргументов.

• \( \frac{12^{\circ} + 48^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• \( \frac{12^{\circ} - 48^{\circ}}{2} = \frac{-36^{\circ}}{2} = -18^{\circ} \).

Шаг 3: Подстановка значений.

• \( \text{ЛЧ} = 2 \cos 30^{\circ} \cos (-18^{\circ}) \).
• Косинус — четная функция: \( \cos (-18^{\circ}) = \cos 18^{\circ} \).
• \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \text{ЛЧ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 18^{\circ} = \sqrt{3} \cos 18^{\circ} \).

Шаг 4: Анализ и проверка условия.

• Полученное \( \sqrt{3} \cos 18^{\circ} \) не равно \( \sin 18^{\circ} \). Проверим условие в задачнике.
• Возможно, должно быть \( \cos 72^{\circ} + \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ} \) (или подобное).
• Если бы было \( \cos 72^{\circ} + \cos 48^{\circ} \): \( 2 \cos 60^{\circ} \cos 12^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 12^{\circ} = \cos 12^{\circ} \). Тоже не \( \sin 18^{\circ} \).
• Поскольку \( \sqrt{3} \cos 18^{\circ} \neq \sin 18^{\circ} \) (кроме случая \( \operatorname{tg} 18^{\circ} = \sqrt{3} \), что неверно), то в условии задачи, вероятно, допущена опечатка.
• Предположим, что должно быть \( \cos 72^{\circ} + \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ} \). (Смотри выше)
• Предположим, что должно быть \( \sin 72^{\circ} - \sin 12^{\circ} = \cos 42^{\circ} \).
• Придерживаемся исходного: \( \cos 12^{\circ} + \cos 48^{\circ} = \sqrt{3} \cos 18^{\circ} \).

Вывод: Исходное утверждение неверно, если не используется опечатка.