ГДЗ: Упражнение 560 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение четверти для \( \alpha \) и \( \frac{3\alpha}{2} \).

• Дано: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть). \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \).
• Для \( \frac{3\alpha}{2} \): \( \frac{3\pi}{2} < \frac{3\alpha}{2} < \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \).
• Это означает, что \( \frac{3\alpha}{2} \) находится либо в IV четверти (от \( 270^{\circ} \) до \( 360^{\circ} \)), либо в I четверти (от \( 360^{\circ} \) до \( 405^{\circ} \)).
• \( 270^{\circ} < \frac{3\alpha}{2} < 405^{\circ} \). Это IV и I четверти.

Шаг 2: Нахождение \( \sin \alpha \).

• \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
• Так как \( \alpha \) в III четверти, \( \sin \alpha < 0 \). \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \).

Шаг 3: Нахождение \( \operatorname{tg} \alpha \).

• \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \).

Шаг 4: Вычисление \( \operatorname{tg} \frac{3\alpha}{2} \).

• Воспользуемся формулой \( \operatorname{tg} (\alpha + \frac{\alpha}{2}) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \). Сначала найдем \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
• Для \( \frac{\alpha}{2} \): \( \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} \) (II четверть). \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \).
• Формула тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \).
• \( \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}} = 4 \).
• Поскольку \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \), то \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = -2 \).
• \( \operatorname{tg} \frac{3\alpha}{2} = \operatorname{tg} (\alpha + \frac{\alpha}{2}) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \).
• \( \operatorname{tg} \frac{3\alpha}{2} = \frac{\frac{4}{3} + (-2)}{1 - \frac{4}{3} (-2)} = \frac{\frac{4 - 6}{3}}{1 + \frac{8}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{3 + 8}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{11}{3}} = -\frac{2}{11} \).

Ответ: \( -\frac{2}{11} \).