ГДЗ: Упражнение 562 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Выражение \( \operatorname{tg} \alpha \).

• Дано \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3} \). Тогда \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = 3 \).

Шаг 2: Выражение \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \) через \( \operatorname{tg} \alpha \).

• \( \sin 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \).
• \( \cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \).

Шаг 3: Вычисление \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha \) и \( 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha \).

• \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \).
• \( 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 - 3^2 = 1 - 9 = -8 \).

Шаг 4: Вычисление \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \).

• \( \sin 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
• \( \cos 2\alpha = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} \).

Шаг 5: Подстановка в искомое выражение.

• \( \frac{4 \sin 2\alpha + 5 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 3 \cos 2\alpha} = \frac{4 \cdot \frac{3}{5} + 5 \cdot (-\frac{4}{5})}{2 \cdot \frac{3}{5} - 3 \cdot (-\frac{4}{5})} \).
• \( = \frac{\frac{12}{5} - \frac{20}{5}}{\frac{6}{5} + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12 - 20}{5}}{\frac{6 + 12}{5}} = \frac{-\frac{8}{5}}{\frac{18}{5}} \).
• \( = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9} \).

Ответ: \( -\frac{4}{9} \).