ГДЗ: Упражнение 550 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применение основного тождества и определение тангенса.

• Используем \( 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) в числителе, а также \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• \( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Шаг 2: Сокращение.

• Сократим \( \sin \alpha \) в знаменателе первой дроби и в числителе второй дроби (при условии \( \sin \alpha \neq 0 \)):
• \( \frac{\sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{1} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Шаг 3: Дальнейшее упрощение числителя.

• Разложим \( 2 \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \). Заменим одну \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \):
• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin \alpha = 1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha \).
• Но можно было сгруппировать по-другому: \( \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - \sin \alpha \). (Подождите, это неверное упрощение)
• Вернемся к числителю: \( \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - \sin \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha - \sin \alpha = 1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha \).
• Это не тождественно исходному числителю.
• Повторим Шаг 1: \( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \operatorname{tg} \alpha = \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Сокращаем \( \sin \alpha \): \( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Используем \( 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) в числителе:
• \( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Разделим почленно: \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} + \frac{2\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha + 2\cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \sin \alpha + 2\cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \).

Шаг 4: Повторное применение основного тождества в числителе.

• \( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Рассмотрим \( 1 - \sin \alpha \) и \( \cos^2 \alpha \).
• Вернемся к Шагу 2: \( \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).
• Разделим почленно: \( \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} + \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \).

Ответ: \( \frac{1}{\cos \alpha} + \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \) (или \( \operatorname{sec} \alpha + \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \)).

Шаг 1: Применение основного тождества и определение котангенса.

• Используем \( 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) в числителе, а также \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
• \( \operatorname{ctg} \alpha \frac{1 + \sin^2 \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha} \).

Шаг 2: Сокращение.

• Сократим \( \cos \alpha \) в числителе первой дроби и в знаменателе второй дроби (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)):
• \( \frac{1}{\sin \alpha} \cdot (2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha) = \frac{2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Шаг 3: Разделение на части.

• Разделим почленно: \( \frac{2 \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
• \( 2 \sin \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \operatorname{ctg} \alpha \).

Ответ: \( 2 \sin \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \operatorname{ctg} \alpha \) (или \( 2 \sin \alpha + \operatorname{ctg} \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha \)).