А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
565 упражнение:
Найти значение выражения \( \frac{\sin \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha} \), если \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \).
1)
Ответ
Шаг 1: Разделение числителя и знаменателя на \( \cos^3 \alpha \).
Разделим числитель и знаменатель на \( \cos^3 \alpha \) (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)).
\( \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}}{\frac{\sin^3 \alpha}{\cos^3 \alpha} + \frac{3 \cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha}} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^3 + 3} \).
Шаг 2: Выражение через \( \operatorname{tg} \alpha \).
Используем \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \) и \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha \) (основное тригонометрическое тождество, разделенное на \( \cos^2 \alpha \)).
Выражение: \( \frac{\operatorname{tg} \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)}{\operatorname{tg}^3 \alpha + 3} \).
Шаг 3: Подстановка значения \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \).
\( \frac{2 (1 + 2^2)}{2^3 + 3} = \frac{2 (1 + 4)}{8 + 3} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11} \).
Ответ: \( \frac{10}{11} \).
Что применять при решении
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Формулы приведения
Правила преобразования тригонометрических функций углов, отличающихся от острого на \( \frac{\pi}{2} \) или \( \pi \) (или кратные им значения).
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha; \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \)
Формулы двойного угла
Выражение синуса, косинуса и тангенса угла \( 2\alpha \) через функции угла \( \alpha \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha; \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)
Формулы понижения степени
Выражение квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла.
\( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \)
Формула суммы синусов
Сумма синусов двух углов.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула разности косинусов
Разность косинусов двух углов.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула тангенса половинного угла
Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус угла.
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Формула произведения синусов
Произведение синусов двух углов.
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 5
Глава
Глава 5
Параграф
Глава 5 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
