А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
552 упражнение:
Доказать тождество:
1)
\( 1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Ответ
Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).
Запишем \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{tg} \beta \) через синусы и косинусы:
\( \text{ЛЧ} = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.
Общий знаменатель: \( \cos \alpha \cos \beta \).
\( \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Шаг 3: Применение формулы косинуса разности.
Формула косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
Подставим в числитель: \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).
Полученное выражение совпадает с правой частью: \( \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = \text{ПЧ} \).
Вывод: Тождество доказано.
2)
\( \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Ответ
Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).
Запишем \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{tg} \beta \) через синусы и косинусы:
\( \text{ЛЧ} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.
Общий знаменатель: \( \cos \alpha \cos \beta \).
\( \text{ЛЧ} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Шаг 3: Применение формулы синуса разности.
Формула синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
Подставим в числитель: \( \text{ЛЧ} = \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).
Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).
Полученное выражение совпадает с правой частью: \( \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} = \text{ПЧ} \).
Вывод: Тождество доказано.
Что применять при решении
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Формулы приведения
Правила преобразования тригонометрических функций углов, отличающихся от острого на \( \frac{\pi}{2} \) или \( \pi \) (или кратные им значения).
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha; \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \)
Формулы двойного угла
Выражение синуса, косинуса и тангенса угла \( 2\alpha \) через функции угла \( \alpha \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha; \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)
Формулы понижения степени
Выражение квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла.
\( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \)
Формула суммы синусов
Сумма синусов двух углов.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула разности косинусов
Разность косинусов двух углов.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Формула тангенса половинного угла
Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус угла.
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Формула произведения синусов
Произведение синусов двух углов.
\( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 5
Глава
Глава 5
Параграф
Глава 5 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
