ГДЗ: Упражнение 549 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Часть 1: Вычисление \( \cos \frac{23\pi}{6} \).

• \( \frac{23\pi}{6} = 3\pi + \frac{5\pi}{6} = 2\pi + \pi + \frac{5\pi}{6} \).
• Период \( 2\pi \) можно отбросить: \( \cos \left( \pi + \frac{5\pi}{6} \right) \).
• Формула приведения \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \): \( -\cos \frac{5\pi}{6} \).
• \( \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} \). \( -\cos \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = - (-\cos \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Часть 2: Вычисление \( \sin \frac{15\pi}{4} \).

• \( \frac{15\pi}{4} = 3\pi + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \pi + \frac{3\pi}{4} \).
• Период \( 2\pi \) можно отбросить: \( \sin \left( \pi + \frac{3\pi}{4} \right) \).
• Формула приведения \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \): \( -\sin \frac{3\pi}{4} \).
• \( \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} \). \( -\sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = - (\sin \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Часть 3: Окончательное вычисление.

• \( \cos \frac{23\pi}{6} - \sin \frac{15\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} \).

Часть 1: Вычисление \( \sin \frac{25\pi}{3} \).

• \( \frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} \). \( 8\pi \) — это 4 полных оборота, их можно отбросить.
• \( \sin \left( 8\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Часть 2: Вычисление \( \operatorname{tg} \frac{10\pi}{3} \).

• \( \frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} \).
• Период тангенса \( \pi \). \( 3\pi \) — это 3 периода, их можно отбросить.
• \( \operatorname{tg} \left( 3\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Часть 3: Окончательное вычисление.

• \( \sin \frac{25\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{10\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Часть 1: Вычисление \( \cos 3660^{\circ} \).

• Период косинуса \( 360^{\circ} \). \( 3660^{\circ} = 10 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ} \). \( 10 \cdot 360^{\circ} \) — это 10 полных оборотов.
• \( \cos 3660^{\circ} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \).

Часть 2: Вычисление \( \sin (-1560^{\circ}) \).

• Синус — нечетная функция: \( \sin (-1560^{\circ}) = -\sin 1560^{\circ} \).
• \( 1560^{\circ} = 4 \cdot 360^{\circ} + 120^{\circ} \). \( 4 \cdot 360^{\circ} \) можно отбросить.
• \( -\sin 1560^{\circ} = -\sin 120^{\circ} \).
• \( \sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Следовательно, \( -\sin 1560^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Часть 3: Окончательное вычисление.

• \( 3 \cos 3660^{\circ} - \sin (-1560^{\circ}) = 3 \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \).

Часть 1: Вычисление \( \cos (-945^{\circ}) \).

• Косинус — четная функция: \( \cos (-945^{\circ}) = \cos 945^{\circ} \).
• \( 945^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 225^{\circ} \). \( 2 \cdot 360^{\circ} \) можно отбросить.
• \( \cos 945^{\circ} = \cos 225^{\circ} \).
• \( \cos 225^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 45^{\circ}) \). Формула приведения \( \cos (180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha \).
• \( \cos 225^{\circ} = -\cos 45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Часть 2: Вычисление \( \operatorname{tg} 1035^{\circ} \).

• Период тангенса \( 180^{\circ} \). \( 1035^{\circ} = 5 \cdot 180^{\circ} + 135^{\circ} \). \( 5 \cdot 180^{\circ} \) можно отбросить.
• \( \operatorname{tg} 1035^{\circ} = \operatorname{tg} 135^{\circ} \).
• \( \operatorname{tg} 135^{\circ} = \operatorname{tg} (180^{\circ} - 45^{\circ}) \). Формула приведения \( \operatorname{tg} (180^{\circ} - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha \).
• \( \operatorname{tg} 135^{\circ} = -\operatorname{tg} 45^{\circ} = -1 \).

Часть 3: Окончательное вычисление.

• \( \cos (-945^{\circ}) + \operatorname{tg} 1035^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \).