ГДЗ: Упражнение 553 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение выражения с использованием формулы произведения.

• Применим формулу \( 2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y) \).
• Пусть \( x = 6\alpha \) и \( y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha \).
• \( 2 \sin 6\alpha \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = \sin (6\alpha + \frac{\pi}{4} + 3\alpha) + \sin (6\alpha - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)) \).
• \( = \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) \).

Шаг 2: Подстановка упрощенной части в исходное выражение.

• Исходное выражение: \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin 6\alpha \).

Шаг 3: Вычисление значений для \( \alpha = \frac{5\pi}{24} \).

• Вычислим аргументы:
• \( 3\alpha = 3 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{5\pi}{8} \).
• \( 6\alpha = 2 \cdot 3\alpha = 2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi}{4} \).
• \( 9\alpha = 3 \cdot 3\alpha = 3 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{15\pi}{8} \).

Шаг 4: Вычисление тригонометрических функций.

• \( \sin 6\alpha = \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{15\pi}{8} + \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{15\pi + 2\pi}{8}) = \sin \frac{17\pi}{8} \).
• \( \sin \frac{17\pi}{8} = \sin (2\pi + \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8} \).
• \( \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{5\pi - 2\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8} \).

Шаг 5: Подстановка в выражение.

• Выражение: \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Применим формулу суммы синусов: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).
• \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}}{2} \).
• \( = 2 \sin \frac{4\pi}{16} \cos \frac{-2\pi}{16} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos (-\frac{\pi}{8}) \).
• \( = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \).

Шаг 6: Окончательный ответ.

• \( \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \). (Это не является простым числом).
• Проверим изначальное упрощение: \( 2 \sin 6\alpha \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - \sin 6\alpha = \sin 6\alpha (2 \cos (\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1) \).
• При \( \alpha = \frac{5\pi}{24} \): \( 6\alpha = \frac{5\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} + 3\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{8} = \frac{2\pi + 5\pi}{8} = \frac{7\pi}{8} \).
• Выражение: \( \sin \frac{5\pi}{4} (2 \cos \frac{7\pi}{8} - 1) \).
• \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \cos \frac{7\pi}{8} \) — не табличное значение.

Воспользуемся Шагом 2.

• Подставим \( \sin 6\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) в \( \sin (9\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin (3\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin 6\alpha \).
• \( \sin \frac{17\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} \).
• \( \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \cos 2\cdot\frac{\pi}{8}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \).
• \( = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \).

Итого: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \) - вероятно, в условии предполагалось другое упрощение или ошибка.

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + 1) \).

Шаг 1: Упрощение выражения с использованием формул приведения и понижения степени.

• Формула приведения: \( \cos (\pi - 3\alpha) = -\cos 3\alpha \).
• Формула понижения степени: \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \). Здесь \( x = \frac{\pi}{4} - 1,5\alpha \).
• \( 2 \sin^2 (\frac{\pi}{4} - 1,5\alpha) = 2 \cdot \frac{1 - \cos 2(\frac{\pi}{4} - 1,5\alpha)}{2} = 1 - \cos (\frac{\pi}{2} - 3\alpha) \).
• Формула приведения: \( 1 - \cos (\frac{\pi}{2} - 3\alpha) = 1 - \sin 3\alpha \).

Шаг 2: Подстановка упрощенных частей в исходное выражение.

• Исходное выражение: \( \cos 3\alpha + (-\cos 3\alpha) \cdot (1 - \sin 3\alpha) \).
• \( = \cos 3\alpha - \cos 3\alpha + \cos 3\alpha \sin 3\alpha = \cos 3\alpha \sin 3\alpha \).

Шаг 3: Использование формулы двойного угла.

• \( \cos 3\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2} (2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha) = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2} \sin 6\alpha \).

Шаг 4: Вычисление для \( \alpha = \frac{5\pi}{36} \).

• Вычислим аргумент: \( 6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{36} = \frac{5\pi}{6} \).
• \( \frac{1}{2} \sin 6\alpha = \frac{1}{2} \sin \frac{5\pi}{6} \).
• \( \sin \frac{5\pi}{6} = \sin (\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
• \( \frac{1}{2} \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \).