ГДЗ: Упражнение 558 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование числителя (Ч).

• \( \sin (2\alpha - 3\pi) = \sin (2\alpha - 2\pi - \pi) = \sin (2\alpha - \pi) = -\sin (\pi - 2\alpha) = -\sin 2\alpha \).
• \( 2 \cos (\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = 2 \cos (\pi + (\frac{\pi}{6} + 2\alpha)) = -2 \cos (\frac{\pi}{6} + 2\alpha) \).
• Формула косинуса суммы: \( \cos (\frac{\pi}{6} + 2\alpha) = \cos \frac{\pi}{6} \cos 2\alpha - \sin \frac{\pi}{6} \sin 2\alpha \).
• \( = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha \).
• \( -2 \cos (\frac{\pi}{6} + 2\alpha) = -2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha - \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right) = -\sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \).
• Числитель: \( -\sin 2\alpha + (-\sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha) = -\sqrt{3} \cos 2\alpha \).

Шаг 2: Преобразование знаменателя (З).

• \( 2 \cos (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) \). Формула косинуса разности: \( \cos (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) = \cos \frac{\pi}{6} \cos 2\alpha + \sin \frac{\pi}{6} \sin 2\alpha \).
• \( = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha \).
• \( 2 \cos (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha \right) = \sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \).
• \( \sqrt{3} \cos (2\alpha - 3\pi) = \sqrt{3} \cos (2\alpha - 2\pi - \pi) = \sqrt{3} \cos (2\alpha - \pi) \).
• \( = \sqrt{3} \cos (\pi - 2\alpha) = -\sqrt{3} \cos 2\alpha \).
• Знаменатель: \( (\sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha) + (- \sqrt{3} \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha \).

Шаг 3: Сборка.

• Левая часть: \( \frac{-\sqrt{3} \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \).
• По определению \( \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \).
• \( \frac{-\sqrt{3} \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{ctg} 2\alpha \).

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• Левая часть равна правой части.

Вывод: Тождество доказано.

Шаг 1: Преобразование числителя (Ч).

• \( 2 \cos (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) = \sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \) (из 558.1).
• \( \sqrt{3} \sin (2,5\pi - 2\alpha) = \sqrt{3} \sin (2\pi + \frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sqrt{3} \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sqrt{3} \cos 2\alpha \).
• Числитель: \( (\sqrt{3} \cos 2\alpha + \sin 2\alpha) - \sqrt{3} \cos 2\alpha = \sin 2\alpha \).

Шаг 2: Преобразование знаменателя (З).

• \( \cos (4,5\pi - 2\alpha) = \cos (4\pi + \frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin 2\alpha \).
• \( 2 \sin (\frac{\pi}{6} + 2\alpha) = 2 (\sin \frac{\pi}{6} \cos 2\alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin 2\alpha) \).
• \( = 2 (\frac{1}{2} \cos 2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\alpha) = \cos 2\alpha + \sqrt{3} \sin 2\alpha \).
• Знаменатель: \( \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sqrt{3} \sin 2\alpha = \cos 2\alpha + (1 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha \). (Это не сходится с ПЧ).

Шаг 3: Перепроверка условия или предположение опечатки.

• Если бы знаменатель был \( \frac{\cos 2\alpha}{\sqrt{3}} \sin 2\alpha \).
• Проверим обратное тождество: \( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\sqrt{3}} \).
• Если тождество верное, то \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + (1 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha} = \sqrt{3} \operatorname{tg} 2\alpha = \sqrt{3} \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \).
• \( \cos 2\alpha = \sqrt{3} \cos 2\alpha + \sqrt{3}(1 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha \). \( (1 - \sqrt{3}) \cos 2\alpha = (\sqrt{3} + 3) \sin 2\alpha \). Неверно.

Шаг 4: Поиск ошибки в условии (предположение).

• Если бы знаменатель был \( 2 \sin (\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + \sqrt{3} \cos (4,5\pi - 2\alpha) \).
• Если бы числитель был \( \sqrt{3} \sin 2\alpha \) и знаменатель \( \cos 2\alpha \).
• Вероятно, в правой части должно быть \( \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\sqrt{3}} \) или \( \sqrt{3} \operatorname{tg} (2\alpha + \frac{\pi}{6}) \) или подобное.

Придерживаемся исходного (используя Шаг 1 и Шаг 2):

• \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + (1 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha} \).

Ответ: \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + (1 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha} \) (Тождество, как написано, неверно).