ГДЗ: Упражнение 554 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение числителя.

• Применим формулу разности косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \).
• \( \cos 75^{\circ} - \cos 15^{\circ} = -2 \sin \frac{75^{\circ} + 15^{\circ}}{2} \sin \frac{75^{\circ} - 15^{\circ}}{2} \).
• \( = -2 \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Числитель: \( \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} \).

Шаг 2: Упрощение знаменателя.

• Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \).
• \( 1 - 2 \sin^2 15^{\circ} = \cos (2 \cdot 15^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 3: Окончательное вычисление.

• \( \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{6}{3}} = -\sqrt{2} \).

Ответ: \( -\sqrt{2} \).

Шаг 1: Упрощение числителя.

• Применим формулу косинуса двойного угла: \( 2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha \).
• \( 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos (2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Шаг 2: Упрощение знаменателя.

• Группируем: \( 8 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = 2 \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8})^2 \).
• Применим формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).
• \( 2 \left( \sin (2 \cdot \frac{\pi}{8}) \right)^2 = 2 \sin^2 \frac{\pi}{4} \).
• \( 2 \sin^2 \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 \).
• Знаменатель: \( 1 + 1 = 2 \).

Шаг 3: Окончательное вычисление.

• \( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{4} \).