ГДЗ: Упражнение 564 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование числителя (Ч).

• Группируем: \( \text{Ч} = (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + \sin 3\alpha \).
• Применим формулу суммы синусов: \( \sin 5\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \).
• \( \text{Ч} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha \).
• Вынесем \( \sin 3\alpha \): \( \text{Ч} = \sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) \).

Шаг 2: Преобразование знаменателя (З).

• Группируем: \( \text{З} = (\cos 5\alpha + \cos \alpha) + \cos 3\alpha \).
• Применим формулу суммы косинусов: \( \cos 5\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha \).
• \( \text{З} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha \).
• Вынесем \( \cos 3\alpha \): \( \text{З} = \cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) \).

Шаг 3: Сборка и упрощение.

• Левая часть: \( \frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)} \).
• Сократим \( 2 \cos 2\alpha + 1 \) (при условии \( 2 \cos 2\alpha + 1 \neq 0 \)): \( \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \).
• \( \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \).

Шаг 4: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• Левая часть равна правой части.

Вывод: Тождество доказано.