ГДЗ: Упражнение 555 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование левой части (ЛЧ).

• Применим формулу синуса двойного угла: \( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} \).

Шаг 2: Вынесение общего множителя.

• Вынесем \( 2 \sin 2\alpha \) в числителе и знаменателе (при условии \( 2 \sin 2\alpha \neq 0 \)):
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha)}{2 \sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \).

Шаг 3: Применение формул понижения степени.

• Используем формулы: \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \) и \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).

Шаг 4: Применение определения тангенса.

• \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = \operatorname{tg}^2 \alpha \).

Шаг 5: Сравнение с правой частью (ПЧ).

• \( \text{ЛЧ} = \operatorname{tg}^2 \alpha = \text{ПЧ} \).

Вывод: Тождество доказано.

Шаг 1: Преобразование правой части (ПЧ).

• Применим формулу тангенса разности: \( \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} \).
• \( \text{ПЧ} = \left( \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} \right)^2 \).
• Запишем через синусы и косинусы: \( \left( \frac{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}} \right)^2 = \left( \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \right)^2 \).
• \( \text{ПЧ} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \frac{\cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} \).
• Используем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \):
• \( \text{ПЧ} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \).

Шаг 2: Преобразование левой части (ЛЧ).

• Применим формулу синуса двойного угла: \( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \).
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 \cos 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} \).

Шаг 3: Вынесение общего множителя.

• Вынесем \( 2 \cos 2\alpha \) в числителе и знаменателе (при условии \( 2 \cos 2\alpha \neq 0 \)):
• \( \text{ЛЧ} = \frac{2 \cos 2\alpha (1 - \sin 2\alpha)}{2 \cos 2\alpha (1 + \sin 2\alpha)} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \).

Шаг 4: Сравнение.

• \( \text{ЛЧ} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \) и \( \text{ПЧ} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \).

Вывод: Тождество доказано.