ГДЗ: Упражнение 547 - Глава 5 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применение формул приведения.

• \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (синус во второй четверти положителен, функция не меняется).
• \( \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \) (косинус меняется на синус, угол первой четверти, знак +).
• \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) (синус меняется на косинус, угол первой четверти, знак +).

Шаг 2: Подстановка преобразованных выражений.

• Исходное выражение преобразуется к виду: \( 2 (\sin \alpha) (\sin \alpha) + 3 (\cos \alpha)^2 - 2 \).
• \( 2 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha - 2 \).

Шаг 3: Упрощение с использованием основного тригонометрического тождества.

• Разложим \( 3 \cos^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \):
• \( 2 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \).
• Вынесем 2 за скобки: \( 2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha - 2 \).
• По основному тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
• \( 2(1) + \cos^2 \alpha - 2 = 2 + \cos^2 \alpha - 2 = \cos^2 \alpha \).

Ответ: \( \cos^2 \alpha \).

Шаг 1: Применение формул приведения.

• \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \) (синус в третьей четверти отрицателен, функция не меняется).
• \( \operatorname{tg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha \) (тангенс меняется на котангенс, угол третьей четверти, знак +).
• \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус, угол второй четверти, знак -).
• \( \operatorname{tg} (\pi + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha \) (тангенс в третьей четверти положителен, функция не меняется).

Шаг 2: Подстановка преобразованных выражений.

• Исходное выражение преобразуется к виду: \( \frac{(-\sin \alpha) (\operatorname{ctg} \alpha)}{(-\sin \alpha) (\operatorname{tg} \alpha)} \).

Шаг 3: Упрощение.

• Сократим \( -\sin \alpha \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \)): \( \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} \).
• Поскольку \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \) (при условии \( \operatorname{tg} \alpha \neq 0 \)):
• \( \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg}^2 \alpha \).

Ответ: \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \).