ГДЗ: Упражнение 831 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило дифференцирования суммы \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \) и формулу производной показательной функции \( (e^x)' = e^x \) и константы \( (c)' = 0 \).

• Шаг 1: Представим функцию как сумму: \( f'(x) = (e^x)' + (1)' \).
• Шаг 2: Находим производные: \( (e^x)' = e^x \) и \( (1)' = 0 \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = e^x + 0 = e^x \).

Ответ: \( e^x \)

Используем правило дифференцирования суммы \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \), формулу производной показательной функции \( (e^x)' = e^x \) и степенной функции \( (x^p)' = px^{p-1} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^x)' + (x^2)' \).
• Шаг 2: Находим производные: \( (e^x)' = e^x \) и \( (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = e^x + 2x \).

Ответ: \( e^x + 2x \)

Перепишем функцию как \( f(x) = e^x + x^{-1} \). Используем правило дифференцирования суммы и производные \( (e^x)' = e^x \) и \( (x^p)' = px^{p-1} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^x)' + (x^{-1})' \).
• Шаг 2: Находим производные: \( (e^x)' = e^x \) и \( (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = e^x - x^{-2} = e^x - \frac{1}{x^2} \).

Ответ: \( e^x - \frac{1}{x^2} \)

Перепишем функцию как \( f(x) = e^{-3x} + x^{1/2} \). Используем правило суммы, формулу производной показательной функции со сложным аргументом \( (e^{kx})' = k e^{kx} \) (где \( k=-3 \)) и степенной функции.

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{-3x})' + (x^{1/2})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (e^{-3x})' = -3 e^{-3x} \) (производная сложной функции).
  \( (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = -3 e^{-3x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Ответ: \( -3 e^{-3x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)