ГДЗ: Упражнение 846 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Способ 1: Использование цепного правила.
\( f(x) = \ln (x-1)^{1/2} \).
\( f'(x) = \frac{1}{(x-1)^{1/2}} \cdot \left( (x-1)^{1/2} \right)' \)
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{2} (x-1)^{-1/2} \cdot (x-1)' \)
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \cdot 1 = \frac{1}{2(x-1)} \).

Способ 2: Использование свойства логарифмов.
\( f(x) = \frac{1}{2} \ln (x-1) \).
\( f'(x) = \left( \frac{1}{2} \ln (x-1) \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x-1)'}{x-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2(x-1)} \).

Ответ: \( \frac{1}{2(x-1)} \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \) с помощью правила суммы и цепного правила.
\( f'(x) = (e^{\sqrt{3x}})' + (3 \ln (\cos x))' \).

• Производная первого слагаемого (\( u = e^{\sqrt{3x}} \), где \( \sqrt{3x} = (3x)^{1/2} \)):
  \( (e^{\sqrt{3x}})' = e^{\sqrt{3x}} \cdot (\sqrt{3x})' = e^{\sqrt{3x}} \cdot \frac{1}{2} (3x)^{-1/2} \cdot (3x)' \)
  \( = e^{\sqrt{3x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3 = \frac{3 e^{\sqrt{3x}}}{2\sqrt{3x}} \).
• Производная второго слагаемого (\( v = 3 \ln (\cos x) \)):
  \( (3 \ln (\cos x))' = 3 \cdot \frac{(\cos x)'}{\cos x} = 3 \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} = -3 \operatorname{tg} x \).

Шаг 2: Собираем результат:
\( f'(x) = \frac{3 e^{\sqrt{3x}}}{2\sqrt{3x}} - 3 \operatorname{tg} x \).

Ответ: \( \frac{3 e^{\sqrt{3x}}}{2\sqrt{3x}} - 3 \operatorname{tg} x \)

Используем цепное правило для \( \ln(g(x)) \), где \( g(x) = \cos x \).

• \( f'(x) = \frac{(\cos x)'}{\cos x} \)
• \( f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x \).

Ответ: \( -\operatorname{tg} x \)

Используем цепное правило для \( \ln(g(x)) \), где \( g(x) = \sin x \).

• \( f'(x) = \frac{(\sin x)'}{\sin x} \)
• \( f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x \).

Ответ: \( \operatorname{ctg} x \)