ГДЗ: Упражнение 845 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = 0.5^x \) и \( v = \cos 2x \).

• Шаг 1: Находим производные сомножителей:
  \( u' = (0.5^x)' = 0.5^x \ln 0.5 \).
  \( v' = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x \).
• Шаг 2: Применяем правило произведения:
  \( f'(x) = (0.5^x)' \cos 2x + 0.5^x (\cos 2x)' \)
  \( f'(x) = (0.5^x \ln 0.5) \cos 2x + 0.5^x (-2 \sin 2x) \)
• Шаг 3: Выносим общий множитель \( 0.5^x \):
  \( f'(x) = 0.5^x (\ln 0.5 \cos 2x - 2 \sin 2x) \).

Ответ: \( 0.5^x (\ln 0.5 \cos 2x - 2 \sin 2x) \)

Используем правило произведения \( (c u v)' = c (u'v + u v') \), где \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( v = e^{-x} \). Константа \( c=5 \).

• Шаг 1: Находим производные сомножителей:
  \( u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
  \( v' = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x} \).
• Шаг 2: Применяем правило произведения:
  \( f'(x) = 5 \left[ (\sqrt{x})' e^{-x} + \sqrt{x} (e^{-x})' \right] \)
  \( f'(x) = 5 \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{-x} + \sqrt{x} (-e^{-x}) \right] \)
• Шаг 3: Выносим общий множитель \( e^{-x} \):
  \( f'(x) = 5 e^{-x} \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \right) \).
• Шаг 4: Приводим к общему знаменателю в скобках:
  \( f'(x) = 5 e^{-x} \left( \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}} \right) \).

Ответ: \( 5 e^{-x} \left( \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}} \right) \)

Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = e^{3x} \) и \( v = \cos (3-2x) \).

• Шаг 1: Находим производные сомножителей:
  \( u' = (e^{3x})' = 3 e^{3x} \).
  \( v' = (\cos (3-2x))' = -\sin (3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin (3-2x) \cdot (-2) = 2 \sin (3-2x) \).
• Шаг 2: Применяем правило произведения:
  \( f'(x) = (e^{3x})' \cos (3-2x) + e^{3x} (\cos (3-2x))' \)
  \( f'(x) = 3 e^{3x} \cos (3-2x) + e^{3x} (2 \sin (3-2x)) \)
• Шаг 3: Выносим общий множитель \( e^{3x} \):
  \( f'(x) = e^{3x} (3 \cos (3-2x) + 2 \sin (3-2x)) \).

Ответ: \( e^{3x} (3 \cos (3-2x) + 2 \sin (3-2x)) \)