ГДЗ: Упражнение 839 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу производной сложной тригонометрической функции: \( (\cos(kx+b))' = -k \sin(kx+b) \) с \( k=\frac{1}{2} \) и \( b=-1 \).

• Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = -\sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{x}{2} - 1 \right)' \).
• Шаг 2: Находим производную внутренней функции: \( \left( \frac{x}{2} - 1 \right)' = \frac{1}{2} \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = -\frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \)

Сначала преобразуем аргумент синуса: \( g(x) = x \left( \frac{2}{3} + x \right) + 2 = \frac{2}{3}x + x^2 + 2 \).
Используем цепное правило для \( \sin(g(x)) \).

• Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = \cos \left( \frac{2}{3}x + x^2 + 2 \right) \cdot \left( \frac{2}{3}x + x^2 + 2 \right)' \).
• Шаг 2: Находим производную внутренней функции:
  \( \left( \frac{2}{3}x + x^2 + 2 \right)' = \frac{2}{3} + 2x \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = \left( \frac{2}{3} + 2x \right) \cos \left( x \left( \frac{2}{3} + x \right) + 2 \right) \).

Ответ: \( \left( \frac{2}{3} + 2x \right) \cos \left( \frac{2}{3}x + x^2 + 2 \right) \)

Перепишем аргумент косинуса: \( g(x) = 3x - \frac{1}{2}x^{-1} \). Используем цепное правило для \( \cos(g(x)) \).

• Шаг 1: Применим цепное правило: \( f'(x) = -\sin \left( 3x - \frac{1}{2x} \right) \cdot \left( 3x - \frac{1}{2}x^{-1} \right)' \).
• Шаг 2: Находим производную внутренней функции:
  \( \left( 3x - \frac{1}{2}x^{-1} \right)' = 3 - \frac{1}{2} \cdot (-1) x^{-2} = 3 + \frac{1}{2x^2} \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = -\left( 3 + \frac{1}{2x^2} \right) \sin \left( 3x - \frac{1}{2x} \right) \).

Ответ: \( -\left( 3 + \frac{1}{2x^2} \right) \sin \left( 3x - \frac{1}{2x} \right) \)