А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
854 упражнение:
Вычислить \( f'(x) + f(x) + 2 \), если \( f(x) = x \sin 2x \), \( x = \pi \).
1)
Ответ
Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = x \) и \( v = \sin 2x \).
\( u' = (x)' = 1 \). \( v' = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x \). \( f'(x) = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot 2 \cos 2x = \sin 2x + 2x \cos 2x \). Шаг 2: Вычисляем \( f(x) \) и \( f'(x) \) при \( x = \pi \).
\( f(\pi) = \pi \sin (2\pi) = \pi \cdot 0 = 0 \). \( f'(\pi) = \sin (2\pi) + 2\pi \cos (2\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi \). Шаг 3: Вычисляем требуемое выражение: \( f'(\pi) + f(\pi) + 2 \).
Ответ: \( 2\pi + 2 \)
Что применять при решении
Правило дифференцирования суммы и разности
Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения на константу
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
\( (cf(x))' = cf'(x) \)
Производная степенной функции
Формула для нахождения производной функции вида \( x^p \), где \( p \) — любое действительное число.
\( (x^p)' = px^{p-1} \)
Производная показательной функции
Формула для нахождения производной функции \( a^x \) и частный случай для натурального основания \( e \).
\( (a^x)' = a^x \ln a \), \( (e^x)' = e^x \)
Производная логарифмической функции
Формула для нахождения производной натурального логарифма \( \ln x \) и логарифма по произвольному основанию \( a \).
\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \), \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \)
Производные тригонометрических функций
Формулы для нахождения производных синуса, косинуса и тангенса.
\( (\sin x)' = \cos x \), \( (\cos x)' = -\sin x \), \( (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)
Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило)
Производная сложной функции \( f(g(x)) \) равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Правило дифференцирования произведения
Производная произведения двух функций.
\( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
Правило дифференцирования частного
Производная частного двух функций.
\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 47
Глава
Глава 8
Параграф
§ 47 — Производные некоторых элементарных функций
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
