ГДЗ: Упражнение 847 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем цепное правило для показательной функции \( a^{g(x)} \), где \( a=2 \) и \( g(x) = \cos x + 1 \).
Формула: \( (a^{g(x)})' = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x) \).

• \( f'(x) = 2^{\cos x + 1} \ln 2 \cdot (\cos x + 1)' \)
• \( f'(x) = 2^{\cos x + 1} \ln 2 \cdot (-\sin x) \)
• \( f'(x) = -\ln 2 \cdot \sin x \cdot 2^{\cos x + 1} \).

Ответ: \( -\ln 2 \cdot \sin x \cdot 2^{\cos x + 1} \)

Используем правило суммы и формулы \( (a^x)' = a^x \ln a \) и \( (\sin x)' = \cos x \).

• \( f'(x) = (0.5^x)' + (\sin x)' \)
• \( f'(x) = 0.5^x \ln 0.5 + \cos x \).

Ответ: \( 0.5^x \ln 0.5 + \cos x \)

Используем правило суммы, где \( \cos \sqrt{x} \) — сложная функция.
\( f'(x) = (\cos \sqrt{x})' + (2)' \).

• Производная первого слагаемого (\( \cos g(x) \), где \( g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \)):
  \( (\cos \sqrt{x})' = -\sin \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная второго слагаемого: \( (2)' = 0 \).

Шаг 2: Собираем результат:
\( f'(x) = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \).

Ответ: \( -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \)

Используем цепное правило для \( \sin(g(x)) \), где \( g(x) = \ln x \).

• \( f'(x) = \cos (\ln x) \cdot (\ln x)' \)
• \( f'(x) = \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos (\ln x)}{x} \).

Ответ: \( \frac{\cos (\ln x)}{x} \)