ГДЗ: Упражнение 834 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило суммы, формулу \( (a^x)' = a^x \ln a \) и производную сложной показательной функции \( (e^{kx})' = k e^{kx} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (0.5^x)' + (e^{3x})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (0.5^x)' = 0.5^x \ln 0.5 \).
  \( (e^{3x})' = 3 e^{3x} \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = 0.5^x \ln 0.5 + 3 e^{3x} \).

Ответ: \( 0.5^x \ln 0.5 + 3 e^{3x} \)

Используем правило разности, цепное правило для \( 3^{x^2} \) и \( e^{-2x} \).

• Шаг 1: Применим правило разности: \( f'(x) = (3^{x^2})' - (e^{-2x})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot 2x = 2x 3^{x^2} \ln 3 \).
  \( (e^{-2x})' = -2 e^{-2x} \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = 2x 3^{x^2} \ln 3 - (-2 e^{-2x}) = 2x 3^{x^2} \ln 3 + 2 e^{-2x} \).

Ответ: \( 2x 3^{x^2} \ln 3 + 2 e^{-2x} \)

Перепишем функцию: \( f(x) = e^{-x^2} + (3x)^{1/2} \). Используем правило суммы и цепное правило.

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{-x^2})' + ((3x)^{1/2})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (e^{-x^2})' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2} \).
  \( ((3x)^{1/2})' = \frac{1}{2} (3x)^{-1/2} \cdot (3x)' = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x}} \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = -2x e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x}} \).

Ответ: \( -2x e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x}} \)